Переходя теперь к теории малых колебаний около положения равновесия, мы рассмотрим сперва случай свободных колебаний, предполагая, что внешних сил нет.

Формула для кинетической энергии будет того же типа, как и в $\S 73$, а именно:
\[
2 T=a_{11} \dot{q}_{1}^{2}+a_{22} \dot{q}_{2}^{2}+\ldots+2 a_{12} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+\ldots
\]

В дальнейшем все отклонения ог положения равновесия будем считать малыми, так что коэфициентн $a_{r r}$, $a_{r s}$ можно рассматривать как постоянные и равные их значениям в положении равновесия.

Далее, если, как в § 87, мы прәдположим, что благодаря надлежащему выбору, координаты в положении равновесия обращаются в нуль, то мы можем написать:
\[
2 V=c_{11} q_{1}^{2}+c_{22} q_{2}^{2}+\ldots+2 c_{12} q_{1} q_{2}+\ldots
\]

Уравнения Лагранжа теперь примут вид:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}+\frac{\partial V}{\partial q_{r}}=0,
\]

причем член $\frac{\partial T}{\partial q_{r}}$, как величина второго порядка в сравнении со скоростями, опуцен. Следовательно,
\[
a_{1 r} \ddot{q}_{1}+a_{2 r} \ddot{q}_{2}+\ldots+a_{r r} \ddot{q}_{n}+c_{1 r} q_{1}+c_{2 r} q_{2}+\ldots+c_{n \tau} q_{n}=0 .
\]

Чтобы решить эту систему линейных уравнений, мы положим
\[
q_{r}=A_{r} e^{\lambda t} .
\]

Это дает $n$ уравнений типа:
\[
\left(a_{1 r} \lambda^{2}+c_{1 r}\right) A_{1}+\left(a_{2 r} \lambda^{2}+c_{2 r}\right) A_{2}+\ldots+\left(a_{n r} \lambda^{2}+c_{n r}\right) A_{n}=0 .
\]

Исключая $n$ о́тношений:
\[
A_{1}: A_{2}: \ldots: A_{n},
\]

мы получим:
\[
\Delta\left(\lambda^{2}\right)=0,
\]

где

Это – симметричный определитель $n$-й степени относительно $\lambda^{2}$. Можно показать, что все $n$ значений $\lambda^{2}$ вещественны, и если выражение (2) для $V$ существенно положительно, то все значения $\lambda^{2}$ отрицательны.

Рассмотрим последовательность, образованную определителем (9) и определителями, полученными путем вычернивания первой строки и первого столбца, двух первых строк и столбцов и т. д., обозначив их соответственно через
\[
\Delta_{n}, \Delta_{n-1}, \ldots, \Delta_{1}, \Delta_{0}
\]

и добавив положительную постоянную константу $\Delta_{0}$ в конце. Если $\lambda^{2}=+\infty$, то все эти определители будут положительными в силу существенно положительного характера $T$ (§ 73). Если $\lambda^{2}=-\infty$, то определитель $\Delta_{\text {, }}$ положителен или отрицателен в зависимости от того, будет ли $r$ четным или нечетным числом; следовательно, знаки плюс ( + ) и минус ( – ) в последовательности (10) будут чередоваться. Таким образом, когда $\lambda^{2}$ уменьшается от $+\infty$ до в последовательности получается $n$ пєремен знака.

Если $\Delta_{r}=0$, где $r<n$, то на основании известной теоремы из теории определителей знаки $\Delta_{r+1}$ и $\Delta_{r-1}$ іпредполагая, что они не обращаются в нуль вместе с $\Delta_{q}$ ) будут противоположными. Следовательно, при прохождении величины $\lambda^{2}$ через корень определитела $\Delta_{r}$ число перемен знака не изменяется, так что изменение числа перемен знака может произойти только вследствие обращения в нуль определителя $\Delta_{n}$, которое, таким образом, должно получиться при $n$ действительных (и разных) значениях $\lambda^{2}$. Аналогично существуют $n-1$ дейстительных корней определителя $\Delta_{n-1}$ и т. д.
Далее, знаки госледовательности вначале были такими
\[
+++\ldots
\]

Когда $\lambda^{2}$ проходит через первый корень определителя $\Delta_{n}$, они становятся такими
\[
-+++\ldots
\]

но, прежде чем будет достигнут следующий корень определителя $\Delta_{n}$, знак определителя $\Delta_{n-1}$ должен стать отрицательным, так как, иначе, все знаки стали бы в дальнейшем положительными после прохождения через новый корень олределителя $\Delta_{n}$. Это привело бы к тому, что нам все еще нужно было бы получить $n$ перемен знака. Спедовательно, корни определителя $\Delta_{n-1}$ расположены между корнями определителя $\Delta_{n}$. Точно ғак же корни опредслителя $\Delta_{n \rightarrow 2}$ расположены между корнями определителя $\Delta_{n-1}$ и т. д.

До сих пор на потенциальную энєргию не было наложено никаких условий. Но если величина $V$ существенно положительна, то знаки у членов последовательности (10) при $\lambda^{2}=0$ будут все положительными. Следовательно, при уменьшении $\lambda^{2}$ от 0 до $-\infty$ получится $n$ перемен знака. Таким образом корни $\lambda^{2}$ определителя (9) будут все не только действительными, но и отрицательными 1 ).

Предыдущие рассуждения предполагают, что соседние члены последовательности (10) не обращаются в нуль одновременно. Эта особенность, если она встречается, обязана своим происхождением некоторым особым соотношениям между коэфициентами, входяцими в (1) и (2), и может Сыть устранена путем незначительного изменения структуры системы, например, путем незначительного изменения величины одного из коэфициснтов инерции. Рассматривая двойной корень определителя $\Delta_{n}$, как получающийся в пределе при совпадении двух прежде различных корней, мы видим, что двойной корень определителя $\Delta_{n}$ будет простым корнем определителя $\Delta_{n-1}$. Аналогично тройной корень определителя $\Delta_{n}$ будет двойным корнем определителт $\Delta_{n-1}$, но простым корнем $\Delta_{n-2}$. Вообще $r$-кратный корень определителя $\Delta_{n}$ является ( $r-1$ )-кратным корнем определителя $\Delta_{n-1}$ и т. д.

Дальше будет показано, что кратный корень определителя $\Delta_{n}$ характеризуется обращением в нуль всех первых миноров. Здесь мы будем предполагать, что все корни различны и что, таким образом, решения (12), приведенные ниже, вполне определены.

Следовательно, если $V$ имеет в положении равновесия минимум, то значения $\lambda$ будут вида ${ }^{2}$ ):
\[
\lambda= \pm i \sigma .
\]

В силу (8) система уравнений (6) при любом таком значении $\lambda$ эквивалентна системе из $n-1$ уравнений, определяющих $n-1$ отношений (7), причем значение одной из констант остается произвольным. Таким образом
\[
\frac{A_{1}}{\alpha_{1}}=\frac{A_{2}}{\alpha_{2}}=\ldots=\frac{A_{n}}{\alpha_{n}}=H \text {, }
\]

где $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ означают миноры элементов одной строки определителя $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$. Так как эти миноры являются функциями от $\lambda^{2}$ и, следовательно, они имеют одни и те же значения для значений $\lambda$, отличаю-
1) Доказательство принадлежит Paycy. Оно является обобщением доказательства, данного Сальмоном (Salmon) для \”уравнения векового неравенства“ в \”Higher Algebra“, § 44. Другое доказательство указано ниже в § 94 .
2) Так как этот минимум при внбранных координатах равен нулю, то $V$ – существенно положительная величина, и потому, как доказано выше, все значения $\lambda^{2}$ отрицательны. Прим. перев.

щихся знаком, то решением, соответствующим паре корней вида (11), будет:
\[
q_{r}=\alpha_{r}\left(H e^{i s t}+K e^{-i s t}\right),
\]

или в действительной форме:
\[
q_{r}=C \alpha_{r} \cos (\sigma t+\varepsilon),
\]

где произвольные псстоянные $H, K$ или $C$, $\varepsilon$ одни и те же для всех координат ${ }^{1}$ ).

Это решение, взятое само по себе, представляет то, что называется „нормальным“, или „основным“ колебанием. В данном случае каждая точка системы совершает простое гармоническое юолебание с периодом $\frac{2 \pi}{\sigma}$. Направление колебания каждой точки, а также относительные амплитуды разных точек вполне определены, причем точки движутся с одинакввой фазой и, следовательно, проходят одновременно через свои положения равновесия. Произвольными элементами являются только абсолютное значение амплитуды, зависящей от $C$, и фазовая константа $\varepsilon$ (начальная фаза).

Если все значения $\lambda^{2}$ отрицательны (и различны), то существует $n$ таких нормальных колебаний; наиболее обций случай малых колебаний системы получается путем сложения нормальных колебаний с произвольными, амплитудами и фазами; таким образом
\[
\begin{aligned}
q_{r}=C \alpha_{r} \cos (\sigma t+\varepsilon) & +C^{\prime} \alpha_{r}^{\prime} \cos \left(\sigma^{\prime} t+\varepsilon^{\prime}\right)+ \\
& +C^{\prime \prime} \alpha_{r}^{\prime \prime} \cos \left(\sigma^{\prime \prime} t+e^{\prime \prime}\right)+\ldots .
\end{aligned}
\]

Входящие сюда $2 n$ произвольных постоянных $C, C^{\prime}, C^{\prime \prime}, \ldots, \varepsilon, \varepsilon^{\prime}$, $\varepsilon^{\prime \prime}, \ldots$ можно выбрать так, чтобы решение принимало задағные начальные (малые) значения $n$ координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и $n$ скоростен $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$.

Периодическая форма решения (15) показывает, что, так как $C, C^{\prime}$, $C^{\prime \prime}, \ldots$ по предположению малы, конфигурация системы никогда не будет значительно отличаться от конфигурации в положении равновесия. Следовательно, обращение значения $V$ в минимум указывает на устойчивость, что находится в согласии с аргументацией Дирихле.

Если значение $V$ не является абсолютным минимумом, так что выражение (2) может стать отрицательным, то могут оказаться положительные значения $\lambda^{2}$, приводящие к решениям типа:
\[
q_{r}=\alpha_{r}\left(H e^{\lambda t}+K e^{-\lambda t}\right) .
\]

Если начальные условия не подобраны особым образом, то значения $q_{r}$ будут постоянно расти до тех пор, пока не нарушатся предположония, на которых были основаны наши приближенные уравнения.

Мы будем подразумевать преимущественно случай устойчивости, если не будет указано противное.
1) Теория в своих наиболее существенных чертах принадлежит Лагранду (Mécanique Analytique, ч. 2, разд. 6).