При решении уравнений колебании, изложенном в § 90, было предположено, что миноры первого порядка определителя $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ не обращаются все в нуль одновременно с самим определителем $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$. Этот исключительный случай может встретиться лишь, если $\lambda^{2}$ представляет кратный корень. Действительно, диференцируя столбец за столбцом, мы получим

причем всего мы получаем $n$ определителей. Если минор члена, стоящего в $r$-м столбце и в $s$-й строке определителя $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ обозначить через $\alpha_{r s}$, то определитель в (1) будет равен следующей величине:
\[
. a_{11} \alpha_{11}+a_{12} \alpha_{12}+\ldots+a_{1 n} \alpha_{1 n} .
\]

Следовательно, если все первые миноры обрацаются в нуль, то
\[
\frac{d \Delta\left(\lambda^{2}\right)}{d\left(\lambda^{2}\right)}=0,
\]

что выражает условие кратности корня.
Имеет место и обратное утверждение. Действительно, если мы сложим $n$ выражений типа (2) и воспользуемся соотношениями $a_{r s}=a_{s r}$, $\alpha_{r s}=\alpha_{s r}$, то результат можно представить в виде:
\[
\frac{d \Delta\left(\lambda^{2}\right)}{d\left(\lambda^{2}\right)}=a_{11} \alpha_{11}+a_{22} \alpha_{22}+\ldots+2 a_{12} \alpha_{12}+\ldots .
\]

Но, если $\Delta\left(\lambda^{2}\right)=0$, то
\[
\alpha_{r r} \alpha_{s s}=\alpha_{r s}{ }^{2}, \quad \alpha_{p r} \alpha_{q s}=\alpha_{p q} \alpha_{r s} .
\]

Следовательно, если не все миноры $n-1$ порядка обращаются в нуль, то должен быть наименьший минор типа $\alpha_{r r}$, например $\alpha_{11}$, отличный от нуля, иначе все остальные миноры (типа $\alpha_{r s}$ ) обращались бы также в нуль. Поэтому формулу (4) можно записать в виде:
\[
\frac{d \Delta\left(\lambda^{2}\right)}{d\left(\lambda^{2}\right)}=\frac{1}{\alpha_{11}}\left(a_{11} \alpha_{11}^{2}+a_{12} \alpha_{12}^{2}+\ldots+2 a_{11} \alpha_{11} \alpha_{12}+\ldots\right) .
\]

Выражение, стоящее в скобках, представляет квадратичную функцию от $n$ количеств $x_{11}, \alpha_{12}, \ldots, \alpha_{1 n}$, которая на основании $\S 73$, не может обращаться в нуль.

Как уже было замечено, с физической точки зрения существование кратного корня является случайным свойством динамической системы, которое можно устранить, изменив незначительно ее структуру. Простой пример этого случая представляют колебания материальной точки под действием силы тяжести в гладкой вогнутой чаше (§ 91 , пример 1). Пока главные кривизны в наиболее низкой точке хоть немного разнятся друг от друга, нормальные колебания имеют вполне определенный характер и периоды их различны. Но если обе кривизны равны, то точка может совершать колебательное движение в любой вертикальной плоскости, проходящей через наиболее низкую точку, и два таких колебания можно сложить в одно эллиптическсе гармоническое колебание. Вместо решения типа:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=A_{1} \cos \left(\sigma_{1} t+\varepsilon_{1}\right)+A_{2} \cos \left(\sigma_{2} t+\varepsilon_{2}\right), \\
y=k_{1} A_{1} \cos \left(\sigma_{1} t+\varepsilon_{1}\right)+k_{2} A_{2} \cos \left(\sigma_{2} t+\varepsilon_{2}\right),
\end{array}\right\}
\]

где $k_{1}, k_{2}$ — определенные константы, зависящие от кривизны, мы будем иметь решение:
\[
x=F \cos (\sigma t+\alpha), \quad y=G \cos (\sigma t+\beta),
\]

заключающее в себе то же число произвольных постоянных, но в другой борме.

Так как этот вопрос представляет интерес скорее с алгебраической, чем с динамической точки зрения, то достаточно лишь кратко указать, как надо изенить изложение $\S 90$ в случае существования кратного корня любого порядка и, в частности, как будет обеспечена общность решения с полным числом произвольных постоянных.

Обозначим определитель $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ и вспомогательные определители, полученные из $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$, как в $\S 90$, так же, как и прежде, через
\[
\Delta_{n}, \Delta_{n-1}, \Delta_{n-2}, \ldots .
\]

Мы видели, что $r$-кратный корень определителя $\Delta_{n}$ будет ( $r-1$ )-кратным корнем определителя $\Delta_{n-1}$ и т. д. Рассмотрим теперь частное решение
\[
q_{1}=A_{1} e^{\lambda t}, q_{2}=A_{2} e^{i t}, \ldots, \quad q_{n}=A_{n} e^{\lambda t} .
\]

Если значение $\lambda^{2}$ удовлетворяет уравнению $\Delta_{n}=0$, но не удовлетворяет уравнению $\Delta_{n-1}=0$, то мы можем приписать одному из коэфициентов произвольное значение, и тогда остальные коэфициенты определяются однозначно. Это будет как раз случай, рассмотренный в § 90 .

Если $\Delta_{n}=0, \Delta_{n-1}=0$, но $\Delta_{n-2}
eq 0$, то мы можем приписать произвольные значения двум коэфициентам, и тогда остальные примут определенные значения. И вообще в случае $r$-кратного корня $r$ коэфициентов, например $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{r}$, могут иметь произвольные значения, и тогда остальные будут определенными линейными функциями от них.
Аналогичные выводы применимы к коэфициентам решения
\[
q_{1}=B_{1} e^{-\lambda t}, \quad q_{2}=B_{2} e^{-\lambda t}, \ldots, q_{n}=B_{n} e^{-\lambda t} .
\]

Следовательно, для $r$-кратного корня $\lambda^{2}$ мы получим частные решения, заключающие в себе $2 r$ произвольных постоянных. В целом при существовании и простых и кратных корней определителя $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ мы имеем в полном решении $2 n$ произвольных постоянных. Это и будет как раз то число, которое необходимо для того, чтобы решение могло дать произвольные начальные значения $n$ координат $q r$ и $n$ скоростей $\dot{q}_{r}$.

Для иллюстрации предыдущих аигебраических выводов положим $n=5$ и предположим, что мы имеем 3-кратный корень, удовлетворяющий уравнениям
\[
\Delta_{5}=0, \quad \Delta_{4}=0, \quad \Delta_{3}=0,
\]

но $\Delta_{2}
eq 0$. Для краткости положим
\[
e_{r s}=a_{r s} \lambda^{2}+c_{r s}=e_{s r} .
\]

Тогда нам нужно будет решить такую систему уравнений:
\[
\begin{array}{l}
e_{11} A_{1}+e_{21} A_{2}+e_{31} A_{3}+e_{41} A_{4}+e_{51} A_{5}=0, \\
e_{12} A_{1}+e_{22} A_{2}+e_{32} A_{3}+e_{42} A_{4}+e_{59} A_{5}=0, \\
e_{13} A_{1}+e_{23} A_{2}+e_{33} A_{3}+e_{43} A_{4}+e_{53} A_{5}=0, \\
e_{14} A_{1}+e_{24} A_{2}+e_{34} A_{3}+e_{44} A_{4}+e_{54} A_{5}=0, \\
e_{15} A_{1}+e_{25} A_{2}+e_{35} A_{3}+e_{45} A_{4}+e_{55} A_{5}=0 .
\end{array}
\]

Мы сперва покажем, что имеется решение, когда $A_{1}=0, A_{2}=0$ и $A_{3}$ произвольно. Так как $\Delta_{2}
eq 0$, то уравнения (IV) и (V) определят значения $A_{4}, A_{5}$, выраженные через $A_{3}$. Так как $\Delta_{3}=0$, то уравнения (III), (IV) и (V) совместны, так что наши значения коэфициентов будут удовлетворять также и уравнению (III). Аналогично условие $\Delta_{4}=0$ обеспечивает нам, что будет также удовлетворено ‘и уравнение (II), и, наконец, условие $\Delta_{5}=0$ показывает, что равенство (I) также будет иметь место.

Таким образом мы нашли решение, в котором $A_{1}=0, A_{2}=0$, а $A_{4}$ и $A_{5}$ однозначно выражаются через $A_{3}$.

Если строки и столбцы коэфициентов предыдущей системы уравнений расположить в другом порядке, сохранив, однако, симметрию относительно главной диагонали, то условия тройнсй кратности корня, а именно:
\[
\Delta_{5}=0, \quad \Delta_{4}=0, \Delta_{3}=0, \Delta_{2}
eq 0,
\]

конечно, будут иметь место и при новом расположении. Таким путем можно получить решение, в котором
\[
A_{1}=0, \quad A_{3}=0,
\]

а величина $A_{2}$ прслзвольна. Аналогично можно получить решение, в котором
\[
A_{2}=0, \quad A_{3}=0
\]

при произвольном $A_{1}$. Наконец, путам перестановки мы можем построить решение, в котором произвольны $A_{1}, A_{2}, A_{3}$.