Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике При решении уравнений колебании, изложенном в § 90, было предположено, что миноры первого порядка определителя $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ не обращаются все в нуль одновременно с самим определителем $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$. Этот исключительный случай может встретиться лишь, если $\lambda^{2}$ представляет кратный корень. Действительно, диференцируя столбец за столбцом, мы получим причем всего мы получаем $n$ определителей. Если минор члена, стоящего в $r$-м столбце и в $s$-й строке определителя $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ обозначить через $\alpha_{r s}$, то определитель в (1) будет равен следующей величине: Следовательно, если все первые миноры обрацаются в нуль, то что выражает условие кратности корня. Но, если $\Delta\left(\lambda^{2}\right)=0$, то Следовательно, если не все миноры $n-1$ порядка обращаются в нуль, то должен быть наименьший минор типа $\alpha_{r r}$, например $\alpha_{11}$, отличный от нуля, иначе все остальные миноры (типа $\alpha_{r s}$ ) обращались бы также в нуль. Поэтому формулу (4) можно записать в виде: Выражение, стоящее в скобках, представляет квадратичную функцию от $n$ количеств $x_{11}, \alpha_{12}, \ldots, \alpha_{1 n}$, которая на основании $\S 73$, не может обращаться в нуль. Как уже было замечено, с физической точки зрения существование кратного корня является случайным свойством динамической системы, которое можно устранить, изменив незначительно ее структуру. Простой пример этого случая представляют колебания материальной точки под действием силы тяжести в гладкой вогнутой чаше (§ 91 , пример 1). Пока главные кривизны в наиболее низкой точке хоть немного разнятся друг от друга, нормальные колебания имеют вполне определенный характер и периоды их различны. Но если обе кривизны равны, то точка может совершать колебательное движение в любой вертикальной плоскости, проходящей через наиболее низкую точку, и два таких колебания можно сложить в одно эллиптическсе гармоническое колебание. Вместо решения типа: где $k_{1}, k_{2}$ – определенные константы, зависящие от кривизны, мы будем иметь решение: заключающее в себе то же число произвольных постоянных, но в другой борме. Так как этот вопрос представляет интерес скорее с алгебраической, чем с динамической точки зрения, то достаточно лишь кратко указать, как надо изенить изложение $\S 90$ в случае существования кратного корня любого порядка и, в частности, как будет обеспечена общность решения с полным числом произвольных постоянных. Обозначим определитель $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ и вспомогательные определители, полученные из $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$, как в $\S 90$, так же, как и прежде, через Мы видели, что $r$-кратный корень определителя $\Delta_{n}$ будет ( $r-1$ )-кратным корнем определителя $\Delta_{n-1}$ и т. д. Рассмотрим теперь частное решение Если значение $\lambda^{2}$ удовлетворяет уравнению $\Delta_{n}=0$, но не удовлетворяет уравнению $\Delta_{n-1}=0$, то мы можем приписать одному из коэфициентов произвольное значение, и тогда остальные коэфициенты определяются однозначно. Это будет как раз случай, рассмотренный в § 90 . Если $\Delta_{n}=0, \Delta_{n-1}=0$, но $\Delta_{n-2} Следовательно, для $r$-кратного корня $\lambda^{2}$ мы получим частные решения, заключающие в себе $2 r$ произвольных постоянных. В целом при существовании и простых и кратных корней определителя $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ мы имеем в полном решении $2 n$ произвольных постоянных. Это и будет как раз то число, которое необходимо для того, чтобы решение могло дать произвольные начальные значения $n$ координат $q r$ и $n$ скоростей $\dot{q}_{r}$. Для иллюстрации предыдущих аигебраических выводов положим $n=5$ и предположим, что мы имеем 3-кратный корень, удовлетворяющий уравнениям но $\Delta_{2} Тогда нам нужно будет решить такую систему уравнений: Мы сперва покажем, что имеется решение, когда $A_{1}=0, A_{2}=0$ и $A_{3}$ произвольно. Так как $\Delta_{2} Таким образом мы нашли решение, в котором $A_{1}=0, A_{2}=0$, а $A_{4}$ и $A_{5}$ однозначно выражаются через $A_{3}$. Если строки и столбцы коэфициентов предыдущей системы уравнений расположить в другом порядке, сохранив, однако, симметрию относительно главной диагонали, то условия тройнсй кратности корня, а именно: конечно, будут иметь место и при новом расположении. Таким путем можно получить решение, в котором а величина $A_{2}$ прслзвольна. Аналогично можно получить решение, в котором при произвольном $A_{1}$. Наконец, путам перестановки мы можем построить решение, в котором произвольны $A_{1}, A_{2}, A_{3}$.
|
1 |
Оглавление
|