Любое данное состояние движения системы можно представить себе, как получившееся мгновенно из состояния покоя путем приложения надлежащих импульсивных сил. Если необходимый импульс точки $m$ будет $\left(X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}\right.$ ), то мы имеем:
\[
m x=X^{\prime}, m \dot{y}=Y^{\prime}, m \dot{z}=Z^{\prime} .
\]
$У_{\text {множив }}$ эти уравнения соответственно на $\frac{\partial x}{\partial q_{r}}, \frac{\partial y}{\partial q_{r}}, \frac{\partial z}{\partial q_{r}}$ и сложив, мы получим:
\[
p_{r}=P_{r}^{\prime},
\]

где
\[
\boldsymbol{p}_{r}=\sum m\left(\dot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+\dot{y} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+\dot{z} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right) \text {, }
\]

и
\[
P_{r}^{\prime}=\sum\left(X^{\prime} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+Y^{\prime} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+Z^{\prime} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right) \text {. }
\]

Количества $p_{2}$ называются „обобщенными составляющими количества дзижения ${ }^{1}$ ), а $P_{r}^{\prime}$ – „обобщенными составля ющими импульса“ 2). Очевидно,
1) Или просто ,обобщенными количествами движения\”, в физике также побобщенными моментами“. II рим. перев.
2) Или просто „обобщенными импульсами“. Прим. перев.
В силу равенства (2) § 74 эгот термин нногда заменяет даже с опущением слова .обобщенный остальнье приведенные здесь термины. Прим. ред.

что при вычислении $P_{r}^{\prime}$ можно опустить все силы ( $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}$ ) такие, что пропорциональные им конечнье силы не произведут работы на всяком бесконечном малом перемещении, совместном со связями системы ( $\S 77$ ).
Если мы подставим в (3) значения $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ из $\S 73$, (1), то найдем:
\[
p_{r}=a_{1 i} \dot{q}_{1}+a_{2 r} \dot{q}_{2}+\ldots+a_{n r} \dot{q}_{n},
\]

но много легче вычислить количества движения в каждом отдельном случае по формуле
\[
p_{r}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}},
\]

которая очевидно эквивалентна фориуле (5).
По теореме Эилера об однородных функциях мы имеем:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2}\left(\dot{q}_{1} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{1}}+\dot{q}_{2} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{2}}+\ldots+\dot{\bar{q}}_{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{n}}\right)= \\
& =\frac{1}{2}\left(p_{1} \dot{q}_{1}+p_{2} \dot{q}_{2}+\ldots+p_{n} \dot{q}_{n}\right) .
\end{aligned}
\]

ПРимер. Рассмотрим случай одной материальной точки, отнесенной к сферическим полярным косрдинатам.
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\psi}^{2}\right) .
\]

Следовательно, обобщенные компоненты количества движения будут
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{r}}=m \dot{r}, \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}=m r^{2} \dot{\theta}, \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}=m r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\dot{\psi}} .
\]

Первое из этих выражений представляет количество движения точки в направлении $r$, второе – момент количества движения относительно оси, проходящей через точку $O$ и перпендикулярной к поскости $\theta$, а третье-момент количества движения относительно линии $O Z$, от которой измеряется угол $\theta$. Их можно было бы получить, хотя и менее просто, при помощи формул (3), положив
\[
x=r \sin \theta \cos \psi, y=r \sin \theta \sin \psi, z=r \cos \theta .
\]