Теория свободного вращения со времен Эилера привлекала внимание многих выдающихся математиков. Их усилия были больше направлены на развитие аналитического решения вопроса, чем на усовершенствование геометрических представлений и на вывод динамических следствий, которые облегчали бы понимание явления.

В этом отношении работа Пуансо является единственной, если не считать некоторых замечательных выводов, сделанных из нее Сильвестром $\left.^{1}\right)$. Самая простая и, может быть, наиболее интересная теорема в этом направлении заключается в следующем. Однородный материальный эллипсоид того же размера и той же формы, как эллипсоид инерции данного тела, имеющий неподвижный центр и катящийся по плоскости, расположенной так же, как и неподвижная плоскость Пуансо, может быть приведен в движение таким образом, что в дальнейшем он будет двигаться совершенно одинаково с данным вращающимся телом. Иными словами, положение главных осей инерции и угловые скорости рращения вокруг этих осей будут всегда одинаковыми в обоих случаях.

Для цоказательства мы предварительно исследуем, какие силы (помимо реакции, приложенной к центру) необходимо приложить к материальному эллипсоиду для того, чтобы его движение было одинаковым с движением данного твердого тела.

Затем мы покажем, что эти силы являются силами реакции в точке касания эллипсоида $\mathfrak{c}$ плоскостью.

Если обозначим через $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ главные центральные моменты инерции материального эллипсоида, то искомые силы определятся уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
L=A^{\prime} \frac{d p}{d t}-\left(B^{\prime}-C^{\prime}\right) q r \\
M=B^{\prime} \frac{d q}{d t}-\left(C^{\prime}-A^{\prime}\right) r p \\
N=C^{\prime} \frac{d r}{d t}-\left(A^{\prime}-B^{\prime}\right) p q
\end{array}\right\}
\]

в которых скорости $p, q, r$ по предположению те же, что у данного твердого тела. $\qquad$
1) Сильвестр Philos. Trans., 1866. Сочинения, т. 2, стp. 57I, (Sylvester, Collected Papers, т. II, стр. 577).

Делая подстановку из уравнения (1) $\S 50$, мы получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
L & =\left\{\frac{A^{\prime}}{A}(B-C)-\left(B^{\prime}-C^{\prime}\right)\right\} q r, \\
M & =\left\{\frac{B^{\prime}}{B}(C-A)-\left(C^{\prime}-A^{\prime}\right)\right\} r p, \\
N & =\left\{\frac{C^{\prime}}{C}(A-B)-\left(A^{\prime}-B^{\prime}\right)\right\} p q .
\end{array}\right\}
\]

Момент сил относительно диаметра, проходящего через точку касания, будет равен нулю при условии:
\[
L p+M q+N r=0
\]

нли
\[
\frac{A^{\prime}}{A}(B-C)+\frac{B^{\prime}}{B}(C-A)+\frac{C^{\prime}}{C}(A-B)=0 .
\]

Далее квадраты главных полуосей эллипсоида инерции пропорциональны соответственно $\frac{1}{A}, \frac{1}{B}, \frac{1}{C}$, так что мы имеем пропорции:
\[
\begin{aligned}
A^{\prime}: B^{\prime}: C^{\prime} & =\left(\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right):\left(\frac{1}{C}+\frac{1}{A}\right):\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\right)= \\
& =A(B+C): B(C+A): C(A+B) .
\end{aligned}
\]

Таким образом условие (4) удовлетворяется. Составляющие $X, Y, Z$ реакции в точке касания ( $x, y, z$ ) должны удовлетворять соотношениям:
\[
y Z-z Y=L, \quad z X-x Z=M, \quad x Y-y X=N,
\]

откуда
\[
\left.\begin{array}{l}
\rho^{2} X=z M-y N+x(x X+y Y+z Z), \\
\rho^{2} Y=x N-z L+y(x X+y Y+z Z), \\
\rho^{2} Z=y L-x M+z(x X+y Y+z Z),
\end{array}\right\}
\]

где $p^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$, а значения $L, M, N$ даны по предположению выражениями (2).

Из этого вытекает, что $X, Y, Z$ остаются определенными только с точностью до аддитивных функций вида $R x, R y, R z$. Такая неопределенность часто встречается в вопросах статики (\»Статика“, § 25) и ее можно было предусмотреть. Очевидно, сила, приложенная в точке касания и направленная к центру, не окажет влиянйя на движение, а потому и не может быть определена по заданному движению.