Теория свободного вращения со времен Эилера привлекала внимание многих выдающихся математиков. Их усилия были больше направлены на развитие аналитического решения вопроса, чем на усовершенствование геометрических представлений и на вывод динамических следствий, которые облегчали бы понимание явления.

В этом отношении работа Пуансо является единственной, если не считать некоторых замечательных выводов, сделанных из нее Сильвестром ${}^1)$. Самая простая и, может быть, наиболее интересная теорема в этом направлении заключается в следующем. Однородный материальный эллипсоид того же размера и той же формы, как эллипсоид инерции данного тела, имеющий неподвижный центр и катящийся по плоскости, расположенной так же, как и неподвижная плоскость Пуансо, может быть приведен в движение таким образом, что в дальнейшем он будет двигаться совершенно одинаково с данным вращающимся телом. Иными словами, положение главных осей инерции и угловые скорости рращения вокруг этих осей будут всегда одинаковыми в обоих случаях.

Для цоказательства мы предварительно исследуем, какие силы (помимо реакции, приложенной к центру) необходимо приложить к материальному эллипсоиду для того, чтобы его движение было одинаковым с движением данного твердого тела.

Затем мы покажем, что эти силы являются силами реакции в точке касания эллипсоида $\mathfrak{c}$ плоскостью.

Если обозначим через $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ главные центральные моменты инерции материального эллипсоида, то искомые силы определятся уравнениями:
$$\begin{array}{l}L=A^{\prime }\frac{dp}{dt}-(B^{\prime }-C^{\prime })qr\\ M=B^{\prime }\frac{dq}{dt}-(C^{\prime }-A^{\prime })rp\\ N=C^{\prime }\frac{dr}{dt}-(A^{\prime }-B^{\prime })pq\end{array}\}$$

в которых скорости $p,q,r$ по предположению те же, что у данного твердого тела. $$
1) Сильвестр Philos. Trans., 1866. Сочинения, т. 2, стp. 57I, (Sylvester, Collected Papers, т. II, стр. 577).

Делая подстановку из уравнения (1) $\mathrm{\S }50$, мы получим:
$$\begin{array}{rl}L& =\{\frac{A^{\prime }}{A}(B-C)-(B^{\prime }-C^{\prime })\}qr,\\ M& =\{\frac{B^{\prime }}{B}(C-A)-(C^{\prime }-A^{\prime })\}rp,\\ N& =\{\frac{C^{\prime }}{C}(A-B)-(A^{\prime }-B^{\prime })\}pq.\end{array}\}$$

Момент сил относительно диаметра, проходящего через точку касания, будет равен нулю при условии:
$$Lp+Mq+Nr=0$$

нли
$$\frac{A^{\prime }}{A}(B-C)+\frac{B^{\prime }}{B}(C-A)+\frac{C^{\prime }}{C}(A-B)=0.$$

Далее квадраты главных полуосей эллипсоида инерции пропорциональны соответственно $\frac{1}{A},\frac{1}{B},\frac{1}{C}$, так что мы имеем пропорции:
$$\begin{array}{rl}{A}^{\prime }:B^{\prime }:C^{\prime }& =(\frac{1}{B}+\frac{1}{C}):(\frac{1}{C}+\frac{1}{A}):(\frac{1}{A}+\frac{1}{B})=\\ & =A(B+C):B(C+A):C(A+B).\end{array}$$

Таким образом условие (4) удовлетворяется. Составляющие $X,Y,Z$ реакции в точке касания ( $x,y,z$ ) должны удовлетворять соотношениям:
$$yZ-zY=L,zX-xZ=M,xY-yX=N,$$

откуда
$$\begin{array}{l}{\rho }^{2}X=zM-yN+x(xX+yY+zZ),\\ {\rho }^{2}Y=xN-zL+y(xX+yY+zZ),\\ {\rho }^{2}Z=yL-xM+z(xX+yY+zZ),\end{array}\}$$

где $p^2=x^2+y^2+z^2$, а значения $L,M,N$ даны по предположению выражениями (2).

Из этого вытекает, что $X,Y,Z$ остаются определенными только с точностью до аддитивных функций вида $Rx,Ry,Rz$. Такая неопределенность часто встречается в вопросах статики (\»Статика“, § 25) и ее можно было предусмотреть. Очевидно, сила, приложенная в точке касания и направленная к центру, не окажет влиянйя на движение, а потому и не может быть определена по заданному движению.