Квазилинейные системы.

Системы уравнений, близкие к линейным системам с постоянными коэффициентами, относятся к классу уравнений, для которых фактическое использование общих результатов и построение рядов (42) не встречает принципиальных затруднений; кроме того, такие системы часто встречаются в приложениях. Неавтономная квазилинейная система имеет вид

где постоянные; периодические функции периода

Однородная часть соответствующей порождающей системы совпадает с уравнениями (46). Поэтому если характеристическое уравнение (см. сноску на с. 53)

не имеет корней вида где целые числа, то -периодические решения системы в вариациях отсутствуют, и при достаточно малых существует единственное аналитическое решение исходной системы с периодом обращающееся при в единственное решение порождающей системы. Это решение асимптотически устойчиво, если оно может быть устойчивым и в случае, когда некоторые или все (такие иногда называют критическими), но тогда вопрос об устойчивости требует дополнительного исследования, результат которого зависит от характера функций Данный случай называют нерезонансным.

В резонансном случае уравнение имеет критические корни вида среди которых могут быть и кратные.

Каждому такому корню отвечает по крайней мере одно -периодическое решение системы в вариациях (однородной части порождающей системы), причем для нулевого корня это решение имеет вид для каждого корня вид где постоянные. Наибольшее возможное число таких независимых решений равно суммарной кратности всех указанных критических корней; при этом каждому критическому корню отвечает столько -пернодических решений, какова его кратность. Рассмотрим именно такой часто встречающийся случай, который соответствует простым элементарным делителям «ратных корней (при более общих предположениях о характере корней уравнения вопрос рассмотрен в работах [7, 54]), причем обозначим соответствующие -периодические решения через Будем считать далее, что все прочие корни уравнения (61) имеют отрицательные вещественные части, т. е., что все прочие независимые решения уравнений в вариациях при неограниченно приближаются к нулю или к линейным комбинациям упомянутых периодических решений. В указанных условиях система, сопряженная с системой в вариациях, также будет допускать независимых -периодических решений причем функции будут того же вида, что и

Если теперь функции в исходных уравнениях удовлетворяют условиям (50), то порождающая система допускает семейство -периодических решений

зависящее от произвольных параметров (через обозначено частное -периодическое решение порождающей системы.

Таким образом в рассматриваемом случае выполняются все условия, сформулированные на стр. 54; для составления уравнений (50), (54) и построения рядов (42) при этом потребуется лишь решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Для автономной квазилинейной системы

периодические решения с периодом близким к периоду целое положительное число; любое вещественное число), могут соответствовать любой паре чисто мнимых корней характеристического уравнения (61). Допустим, что это уравнение имеет такие корни, а также корни вида которые либо являются простыми, либо кратными, но с

простыми элементарными делителями при всех прочих корнях с отрицательными вещественными частями. Тогда, как и выше, будут выполняться условия, обеспечивающие справедливость результата, сформулированного для автономной системы общего вида, в частности, — уравнений (69) и (60), на основе которых решается вопрос о существовании и устойчивости периодических решений.