2. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

При исследовании нелинейных колебаний в системах с одной степенью свободы графоаналитические методы применяют как для общих качественных исследований конкретных систем (путем построения соответствующих фазовых диаграмм, см. п. 2 гл. I), так и для непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих нелинейные колебания. Графоаналитические методы могут быть эффективными в случаях, когда не требуется высокой точности решений дифференциальных уравнений низкого порядка. Точность этих методов зависит от способа построения графиков решений и обычно возрастает при увеличении их масштаба.

Построение фазовых диаграмм колебаний. К графоаналитическим относят методы построения фазовых диаграмм нелинейных автономных систем с одной степенью свободы (см. гл. I); представление движения на фазовой плоскости оказывается, однако, полезным и для некоторых частных типов неавтономных систем.

Для автономной колебательной системы с одной степенью свободы, описываемой уравнением

уравнение фазовых траекторий имеет вид

В некоторых частных случаях дифференциальное уравнение (29) удается проинтегрировать. Так, например, если то общий интеграл его (уравнение семейства фазовых траекторий) имеет вид

На рис. 1 изображена соответствующая фазовая диаграмма колебаний системы, представляющая собой семейство подобных эллипсов. Если функция не зависит от у, то решение можно выразить с помощью квадратур. В общем случае для интегрирования дифференциального уравнения фазовых траекторий (29) используют в частности, методы, описанные ниже.

Метод изоклин. Рассмотрим этот метод применительно к уравнению фазовых траекторий (29). В состояниях равновесия системы, описываемой уравнением (28), скорость и ускорение поэтому в правой части уравнения (29) получаем неопределенность т. е. состояниям равновесия системы будут соответствовать особые точки дифференциального уравнения фазовых троекторий (29), в которых не определено направление касательной к фазовой траектории.

Обозначим правую часть уравнения (29) через и перепишем его в виде

Предполагаем, что функция непрерывна и однозначна, за исключением отдельных особых точек. Решение методом изоклин применимо ко всем значениям х и у, за исключением значений, в точности соответствующих особой точке. Все параметры, входящие в функцию должны быть заданы численно.

Рис. 1

Этот графический метод основан на геометрической интерпретации дифференциального уравнения первого порядка (30) и его решений, а также на понятии изоклины. Так как дифференциальное уравнение (30) каждой точке области, где однозначно определена функция ставит в соответствие касательное направление к интегральной привой, проходящей через точку то в целом уравнение (30) задает поле направлений, касательных к интегральным кривым, заполняющих указанную выше область. Проинтегрировать дифференциальное уравнение — это значит найти такие кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением поля в этой точке.

Изоклиной называется кривая, во всех точках которой поле имеет одно и то же направление. Изоклины облегчают построение поля направлений. Действительно, из определения изоклины вытекает способ составления уравнения изоклин: нужно левую часть уравнения (30) приравнять некоторой постоянной величине тогда уравнение

где параметр, будет уравнением семейства изоклин, При различных значениях получим разные изоклины.

Проиллюстрируем метод изоклин на примере решения задачи Коши, состоящей в решении уравнения (30) при заданных начальных значениях С геометрической точки зрения эта задача заключается в нахождении интегральной кривой (фазовой траектории), проходящей через заданную точку

Пусть Зададим в уравнении (31) три значения где фиксированное отрицательное число. Затем на фазовой плоскости построим три изоклины с проведенными через их точки направлениями касательных (рис. 2).

График фазовой траектории начинаем вычерчивать из точки так, чтобы его наклон всюду равнялся наклону линейных отрезков на соответствующих изоклинах. Если изоклины нанесены часто, масштаб графиков большой и построение аккуратное, то фазовая траектория получается со значительной степенью точности.

Дельта-метод. Этот метод подобно методу изоклин позволяет построить фазовые траектории с помощью несложных однотипных графических построений.

Рис. 2

Рис. 3

Для иллюстрации применения дельта-метода рассмотрим автономную систему, описываемую уравнением (28). Соответствующее уравнение фазовых траекторий (29) этой системы приводим к так называемым нормализованным координатам

Введем безразмерное время и скорость в безразмерном времени тогда в координатах уравнение (29) принимает вид

Обозначив

перепишем уравнение (32) в виде

Функцию на достаточно малых интервалах времени (и соответственно при малых изменениях можно считать постоянной. Тогда в уравнении (34) переменные разделяются, и его общий интеграл имеет вид

Из соотношения (35) следует, что для малого интервала времени отрезок фазовой траектории представляет собой дугу окружности с центром в точке Построение фазовой траектории представлено на рис. 3, где точка фазовой траектории (интегральной кривой) в начальный момент времени Подставив в выражение (33), вычислим величину

олределяющую абсциссу центра окружности Затем радиусом проводим малую дугу окружности в направлении часовой стрелки которая является первым элементом фазовой траектории.

Координаты точки измеряем по чертежу, подставляем в формулу (33) и находим т. е. определяем положение нового центра окружности С помощью этого центра строим второй элемент фазовой траектории и т. д.

Следует отметить, что дельта-метод имеет преимущество перед методом изоклин при решении задачи Коши на фазовой плоскости и строении соответствующей фазовой траектории. В дельта-методе фазовую траекторию строят непосредственно по заданным начальным значениям, а в методе изоклин для построения такой траектории нужно изобразить в некоторой области фазовой плоскости поле направлений.

Рис. 4

Метод Льенара. Графический метод Льенара вытекает из дельта-метода для автономных систем. Если нелинейный член дифференциального уравнения (28) зависит только от скорости, т. е. то в уравнении фазовых траекторий и поэтому в нормализованных координатах оно запишется в виде

Полагая из уравнения (36) получаем аналог уравнения (34)

Таким образом, метод Льенара — частный случай дельта-метода. Однако в этом частном случае оказывается возможным некоторое вспомогательное построение, удобное при практическом применении метода. Суть этого построения состоит в том, что на фазовую плоскость наносят вспомогательную кривую

Далее, взяв для начала произвольную точку (рис. 4), проводят через нее горизонтальную прямую до пересечения со вспомогательной кривой (38) и из полученной точки опускают перпендикуляр на ось Затем определяют тангенс угла а между отрезком и осью

Из рис. 4 следует, что но

Следовательно,

Сравнивая полученное выражение (39) с уравнением (37), устанавливаем, что направление касательной и интегральной кривой в точке перпендикулярно отрезку Это направление показано стрелкой на рис. 4. Взяв на найденном направлении следующую достаточно близкую точку повторяют построение и т. д. В результате получают на плоскости фазовую траекторию в виде ломаной При построении необходимо брать достаточно малые отрезки

Рассмотрим в качестве примера применение метода Льенара при изучении автоколебаний в системе, описываемой уравнением Ван-дер-Поля

Посредством замены (см., например, [22]) это уравнение можно преобразовать в эквивалентное уравнение Рэлея при 8—1:

Последнее уравнение проще, так как содержит в скобках лишь производную от искомой функции и в нормализованных координатах приводится к уравнению вида (36) (при

Для таких систем характерным является то, что «сила сопротивления» в уравнении (37) имеет тот же знак, что и V, при малых значениях и противоположный знак — при больших. Иначе говоря, эта сила стремится увеличить амплитуду колебаний, когда скорость мала, и уменьшить ее, когда скорость велика. В результате движение системы стремится к установившимся колебаниям.

Для уравнения Ван-дер-Поля - Вспомогательная кривая — изображена на рис. 5 Несколько интегральных кривых с предельным циклом и штриховая вспомоытельная кривая для уравнения Ван-дер-Поля изображены на рис. 6.

Рис. 5

Рис. 6

Они получены методом Льенара и позволяют судить о поведении всех интегральных кривых. Например видно, что кривые, которые начинаются в окрестности начала координат, спирально удаляются от него, а кривые, которые начинаются далеко от начала координат, спирально приближаются к нему. Если провести построение интегральных кривых более подробно, то можно убедиться, что они все стремятся навиться на одну замкнутую интегральную кривую, называемую предельным циклом. Этот факт указывает, что с возрастанием времени все движения системы стремятся к некоторому единственному периодическому движению. В этом и заключается наиболее характерная особенность автоколебаний.