Часть первая. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ; МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА

Глава I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

1. ПРИРОДА НЕЛИНЕЙНЫХ СИЛ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Механическую систему называют нелинейной, если нелинейны соотношения, описывающие процессы ее движения или статического деформирования, в частности, если хотя бы одна из обобщенных сил нелинейно связана с обобщенными координатами и (или) обобщенными скоростями. Хотя всякая реальная механическая система в той или иной степени нелинейна, в ряде случаев влияние нелинейности пренебрежимо мало; тогда для описания таких систем можно пользоваться упрощенными линейными моделями и соответствующими им линейными теориями. Таковы, например, основные статические и динамические модели, используемые в сопротивлении материалов, строительной механике и теории упругости, а также некоторые простейшие модели теорий вязкоупругости, аэроупругости, гидроупругости, магни-тоупругости. О линейных динамических задачах см. в т. 1.

В простейших случаях нелинейность механической системы связана с нелинейными зависимостями позиционных сил от обобщенных координат (см. ниже) или сил сопротивления (в частности, сил трения) от обобщенных скоростей (см. с. 14). Для систем с одной степенью свободы такие зависимости, взятые с противоположными знаками, называют силовыми характеристиками (например, характеристика позиционной силы, характеристика силы сопротивления и т.д.).

В более сложных системах в механической системе могут действовать силы смешанного типа (см. с. 17).

Нелинейные позиционные силы. Позиционными называют силы, зависящие только от положения механической системы (ее обобщенных координат). В самом общем случае позиционные силы можно разделить на консервативные и неконсервативные (см. т. 1). В системах с одной степенью свободы любая сила, зависящая только от обобщенной координаты, является консервативной. Если в системе с одной степенью свободы приращение позиционной силы направлено противоположно отклонению системы от положения равновесия, то такую силу называют восстанавливающей, при этом выполняется неравенство где отклонение системы от положения равновесия; ордината силовой характеристики (т. е. взятое с обратным знаком приращение обобщенной позиционной силы). Если то соответствующую позиционную силу называют отталкивающей.

Различают несколько типов позиционных сил.

I. Силы упругости, возникающие при деформировании твердых тел или изменении объема данного количества газа.

II. Силы тяжести.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

III. Силы выталкивания, действующие на тела, частично погруженные в жидкость.

IV. Силы притяжения в постоянном магнитном поле.

Производную называют квазиупругим коэффициентом, или, если сила упругости, коэффициентом жесткости; в нелинейных системах этот коэффициент зависит от обобщенной координаты Если с возрастанием координаты он увеличивается при (или уменьшается при то характеристику называют жесткой; при этом В противоположном случае и характеристику называют мягкой. Характеристики могут быть жесткими в одних промежутках значений и мягкими — в других. Если то характеристику называют симметричной.

Типы механических систем с одной степенью свободы с нелинейными позиционными силами и их силовые характеристики приведены в табл. 1. Через х, у или обозначены обобщенные координаты (отклонения системы от положения равновесия), через или взятые с обратным знаком обобщенные силы. Во всех приведенных случаях нелинейность позиционных сил проявляется лишь при больших отклонениях системы от положения равновесия; при малых отклонениях эти системы можно считать линейными (пределы таких отклонений устанавливают дополнительным исследованием, они зависят от характера изучаемого вопроса и требований точности).

Иногда нелинейность позиционных сил существенна при сколь угодно малых отклонениях системы от положения равновесия; часто нелинейные свойства таких систем особенно заметны именно при малых отклонениях (табл. 2).

Нелинейные силы сопротивления. Силами сопротивления (или просто сопротивлениями) называют силы, зависящие только от скоростей точек механической

Таблица 2 (см. скан)

системы, если их мощность при движении системы не равна тождественно нулю (в противоположность этому мощность гироскопических сил, также зависящих от скоростей точек механической системы, тождественно равна нулю при движении системы — см. Термин в основном применяется в случаях, когда силы направлены противоположно скоростям, но иногда им условно пользуются и тогда, когда направление силы совпадает с направлением скорости.

К силам сопротивления относятся силы трения в подвижных соединениях машин и механизмов; силы конструкционного трения в «неподвижных» соединениях (прессовых, заклепочных, болтовых и т. п.), связанные с микропроскальзываниями в зонах контакта при нагружении системы; силы внутреннего трения в материале элементов системы; силы сопротивления среды, возникающие при движении конструкции в газе или жидкости (силы лобового сопротивления, моменты сил сопротивления вращению крыльчаток и др.).

Чаще всего силы сопротивления описываются нелинейными функциями скоростей, однако в практических расчетах эти функции иногда можно линеаризовать, считая сопротивление линейно-вязким. Обычно основанием для линеаризации сил сопротивления служит не столько слабая нелинейность истинных зависимостей (в действительности она может быть сильной), сколько заведомо малое влияние сил сопротивления на некоторые колебательные свойства и процессы. Так, в большинстве случаев для расчета частот свободных колебаний достаточно использовать линеаризованные характеристики сил трения, а иногда даже полностью пренебречь сопротивлениями. Силами трения часто можно пренебрегать и при вычислении амплитуд вынужденных колебаний вдали от резонанса.

Линеаризация сил сопротивления и тем более пренебрежение ими допустимы не всегда. Возможную нелинейность сил сопротивления следует учитывать при анализе виброграмм свободных затухающих колебаний и при вычислении резонансных

(см. скан)

(см. скан)

амплитуд вынужденных колебаний; в особенности этот учет необходим при нахождении стационарных режимов автоколебаний и конечных амплитуд колебаний при параметрическом резонансе, а также при исследовании переходных процессов в автоколебательных системах. Если для системы с одной степенью свободы обобщенная скорость и взятая с обратным знаком обобщенная сила сопротивления, то функция определяет характеристику сопротивления.

Силы сопротивления, удовлетворяющие неравенству совершают отрицательную работу и вызывают рассеивание (диссипацию) механической энергии; такие силы сопротивления называют диссипативными. Если то силы сопротивления совершают положительную работу и вызывают приток механической энергии в систему; такие силы называют силами отрицательного сопротивления (отрицательного трения). Если сила сопротивления совершает отрицательную работу в одних промежутках движения и положительную — в других, то система может обладать автоколебательными свойствами.

Некоторые нелинейные характеристики сопротивления приведены в табл. 3.

При исследованиях гармонических колебаний, когда часто можно пользоваться условной суммарной силовой характеристикой, представляя сумму сил в виде т. е. как функцию обобщенной координаты В данном случае переход от двух аргументов и к одному аргументу возможен благодаря тому, что закон движения заранее задан; однако после этого перехода зависимость суммарной силы от обобщенной координаты оказывается неоднозначной в отличие от всегда однозначных характеристик позиционных сил (см. габл. 1 и 2).

Для диссипативной системы с линейной восстанавливающей силой (рис. 1, а) суммарная силовая характеристика показана на рис. 1,б; площадь, ограниченная гистерезисной петлей, по величине равна работе силы сопротивления за один период движения. При нелинейной восстанавливающей силе осевая (скелетная) линия гистерезисной петли — криволинейная (рис. 1, в). Если при заданной амплитуде изменяется частота колебаний, то осевая линия петли остается неизменной, но расстояния между ветвями петли и ограниченная ими площадь, как правило, изменяются, причем законы этих изменений зависят от характеристики сопротивления; исключениями служат случаи кулонова трения, а также внутреннего трения в материале, когда гистерезисная петля не меняется при изменениях частоты колебаний (рис. 1,г).

Нелинейные силы смешанного типа. Силами смешанного типа называют силы, зависящие от обобщенных координат и обобщенных скоростей, которые нельзя представить в виде суммы слагаемых, зависящих только от обобщенных координат или только от обобщенных скоростей. Для систем с одной степенью свободы характеристики сил смешанного типа представляют собой поверхности в пространстве взятая с обратным знаком обобщенная сила),

Иногда силы смешанного типа можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от обобщенных координат, а другая только от обобщенных скоростей. Тогда для систем с одной степенью свободы силовой характеристикой является функция Такие силы условно называют силами сопротивления с коэффициентами, зависящими от положения системы (позиционное трение). В табл. 4 даны примеры систем, в которых возникают силы позиционного кулонова трения, и приведены соответствующие силовые характеристики. Природа возникновения зависимости силы кулонова трения от координаты различна: в системах 1—3 силы кулонова трения изменяются с изменением прижатия, которое связано с координатой

в системе 4 прижатие неизменно, но трение начинает проявляться при достаточно большом значении силы т. е. после того, когда перемещение достигнет определенного значения. Система схематически отражает свойства упругопластических конструкций;

Рис. 1

в системе 5 длина участка проскальзывания и общая сила трения пропорциональны силе т. е. связаны с перемещением торцового сечения полосы;

в системе 6 предполагается, что силы внутреннего трения в материале не зависят от частоты процесса циклического деформирования, но (в отличие от случая, показанного на рис. 1,г) изменяются с изменением перемещения; такое предположение приемлемо для многих конструкционных материалов (в частности, для стали).

Другие примеры сил смешанною типа см. в табл. 5.

В автономных системах с импульсным возбуждением силы смешанного типа представляют собой кратковременные воздействия ударною характера, причем удар обычно допустимо считать мгновенным. В этих системах моменты приложения мгновенных импульсов заранее не заданы, так как они зависят от движения системы (импульсы прикладываются в моменты прохождения системой определенных состояний, характеризуемых заданными значениями обобщенных координат и обобщенных скоростей).

Величины импульсов могут зависеть от предударных значений скоростей, но в ряде случаев они заданы; направление импульсов совпадает с направлением предударной скорости, и при ударе происходит мгновенное увеличение механической энергии

(см. скан)

Таблица 5 (см. скан)

системы. Состояния такой системы, которые определяют моменты приложения импульсов, описываются на фазовой плоскости кривыми когда изображающая точка достигает какой-либо ючки этой кривой, происходит удар. На рис. 2, а показан пример фрагмента фазовой диаграммы для системы, если удары с импульсами происходят при когда координата достигает значения и при , когда координаи достигает значения — Разрывы скорости составляют (а — инерционный коэффициент системы).

Рис. 2

В системах с ограничителями направление импульсов, возникающих при ударах об ограничитель, противоположно направлению предударной скорости, и при ударе происходит мгновенное уменьшение механической энергии системы. Фазовая диаграмма на рис. 2, б соответствует некоторой системе с ограничителем. Удары происходят при когда координата достигает определенного значения