2. ТИПЫ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ИХ ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ И ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Типы нелинейных механических систем. Нелинейные механические системы (как и линейные) разделяют на автономные и неавтономные по признаку отсутствия или наличия воздействий, заданных в виде функций времени (силовою или кинематического возбуждения),

В автономных системах действующие силы зависят только от состояния системы (обобщенных координат и обобщенных скоростей), и в дифференциальные уравнения движения время явно не входит. В дифференциальные уравнения движения неавтономных систем время входит явно. Если для автономной нелинейной системы с несколькими степенями свободы можно заранее указать с достаточной точностью законы изменения во времена некоторых из обобщенных координат, то число дифференциальных уравнений движения соответственно уменьшается; в этих уравнениях явно появляется время, и систему в целом можно рассматривать как неавтономную. На этом основана постановка задачи о вынужденных колебаниях, когда предполагают, что движение колебательной системы не оказывает обратного влияния на возбудитель колебаний, т. е. действие возбудителя представляет собой некоторую заданную функцию времени («идеальный возбудитель»). При учете обратного влияния система обычно оказывается нелинейной и автономной, а число обобщенных координат большим, чем в приближенном анализе, необходимость такого учета зависит от свойств и параметров системы (см. гл. VII).

Понятие автономности не совпадает с понятием замкнутости (изолированности) механической системы, которое соответствует условиям полного отсутствия внешних воздействии. Автономная система момег быть незамкнутой (таковы, в частности, все автоколебательные системы), а замкнутая система — неавтономной (при действии парных внутренних сил, заданных в виде явных функций времени). Схемы таких систем приведены в табл. 6.

Таблица 6 (см. скан)

Автономные системы. Для автономных систем с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения имеет вид

Если функция содержит линейную позиционную часть, то уравнение (1) обычно записывают в виде

где нелинейная часть обобщенной силы Если нелинейная часть обобщенной силы достаточно мала, то механическую систему называют квазилинейной и частоту ее колебаний определяют по формуле

Соотношение (3) часто используют при анализе некоторых автоколебательных систем и свободных затухающих колебаний систем с нелинейными силами сопротивления.

Автономные системы могут быть консервативными и неконсервативными, в числе последних выделяются диссипативные и автоколебательные.

Консервативными называют автономные системы, которые находятся под действием только потенциальных сил (расширенное понятие о консервативных системах приведено в гл. 111). Дифференциальное уравнение движения консервативной системы с одной степенью свободы имеет вид

где характеристика консервативной силы. Примеры консервативных нелинейных систем см. в табл. 1. Общие свойства и особенности колебательных явлений в них рассмотрены в гл. III. Характерной практической задачей для консервативных систем является определение связи частоты свободных колебаний с их амплитудой.

Диссипативными называют автономные системы, находящиеся под действием диссипативных сил (а также обычно и восстанавливающих сил, придающих системе колебательные свойства). Дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы при наличии только диссипативных сил имеет вид

где характеристика силы сопротивления.

Если кроме диссипативных сил в системе действуют также и позиционные силы, то дифференциальное уравнение движения принимает вид

Диссипативная система нелинейна, если хотя бы одна из функций нелинейно связана со своим аргументом. Примеры описания диссипативных сил приведены в табл. 3. Общие свойства колебательных явлений в соответствующих системах рассмотрены в гл. IV. Характерной практичгской задачей для таких систем является аналитическое построение огибающей кривой свободных затухающих колебаний.

Автоколебательными называют автономные системы, в которых могут происходить периодические колебания, причем потери механической энергии непрерывно пополняются притоком энергии из источника, не обладающего собственными колебательными свойствами; поступление энергии из источника управляется самим движением системы, а период и размах колебаний не зависят (в широких диапазонах) от начальных условий. Такие колебания называют установившимися (стационарными) автоколебаниями, а процесс постепенного приближения к установившимся автоколебаниям, возникающий после произвольного начального возмущения системы, — переходным процессом. Если дифференциальное уравнение движения системы можно представить в виде (2), то при относительной малости нелинейной части обобщенной силы установившиеся автоколебания приближенно описываются зависимостью

причем частота автоколебаний определяется выражением (3). Такие автоколебания называют квазилинейными. При сильной нелинейности системы установившиеся автоколебания могут существенно отличаться от гармонических; такие колебания называют релаксационными. В частности, автоколебательными являются системы Релея и Ван-дер-Поля, движение которых описывается соответственно уравнениями

Другими примерами автоколебательных систем могут служить системы, для которых силовые характеристики приведены в табл. 3 (пп. 4, в, 5, б и 6) и в табл. 5 (пп. 1 и 2). Общие свойства автоколебательных систем и особенности автоколебаний приведены в гл. V. Характерные задачи для автоколебательных систем заключаются в определении частот и размахов установившихся автоколебаний, исследовании устойчивости установившихся режимов, изучении переходных процессов (нахождение темпа приближения движения к установившемуся режиму).

Неавтономные системы. Обобщенной вынуждающей силой называют явно зависящую от времени часть обобщенной силы, которая не зависит от состояния

системы (обобщенных координат и обобщенных скоростей). Если вынуждающая сила изменяется во времени по периодическому закону, то вызываемые ею установившиеся (периодические) колебания называют вынужденными колебаниями; в более широком смысле вынужденными колебаниями часто называют движение, вызванное любой вынуждающей силой. В дифференциальные уравнения вынужденных колебаний время входит явно в слагаемые, которые не содержат обобщенных координат и обобщенных скоростей. Для системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

где — вынуждающая сила. Об особенностях вынужденных колебаний см. на с. 25, 28—31 и в гл.

Характерной практической задачей для таких систем является построение амплитудно-частотных характеристик; определение резонансных амплитуд и условий срыва амплитуд, выявление супер- и субгармонических колебаний. Если в дифференциальных уравнениях движения неавтономной системы невозможно выделить функции времени в виде отдельных слагаемых и они входят в виде сомножителей при функциях обобщенных координат и (или) обобщенных скоростей, то системы, описываемые этими уравнениями, называют системами с параметрическим возбуждением.

Движение нелинейной системы с одной степенью свободы при параметрическом возбуждении часто описывается дифференциальным уравнением

в котором периодические функции времени. Анализ соответствующего (11) линеаризованного уравнения

позволяет найти области значений параметров системы, в которых тривиальное решение неустойчиво; в этих областях после любого сколь угодно малого возмущения состояния равновесия системы возникает процесс нарастающих колебаний — параметрический резонанс (см. т. 1). Для определения установившихся амплитуд колебаний при параметрическом резонансе необходимо учитывать нелинейность системы и исходить из уравнения (11).

Для систем с параметрическим возбуждением характерные задачи заключаются в определении границ областей устойчивости и условий возникновения параметрического резонанса (в линейной постановке с учетом линейного сопротивления); определении амплитуд установившихся параметрических колебаний в зоне параметрического резонанса (в нелинейной постановке).

Фазовые диаграммы автономных систем. Состояние автономной системы, определяемое обобщенными координатами и обобщенными скоростями число степеней свободы), можно представить изображающей точкой в -мерном фазовом пространстве. Состояние автономной системы с одной степенью свободы может быть представлено изображающей точкой в системе координат (на фазовой плоскости). При этом процесс движения механической системы отображается движением изображающей точки на фазовой плоскости; траекторию изображающей точки называют фазовой траекторией, а совокупность фазовых траекторий, соответствующих всевозможным начальным условиям, — фазовой диаграммой (рис. 3, а). Если

— дифференциальное уравнение движения автономной системы, то дифференциальное уравнение фазовых траекторий имеет вид

Состояниям равновесия соответствует равенство

Корни уравнения (15) определяют равновесные значения координаты Точки особые точки дифференциального уравнения (14); все остальные точки фазовой плоскости называют регулярными. Через любую регулярную точку проходит только одна фазовая траектория. Если обобщенной координатой является угол, то вместо фазовой плоскости удобно пользоваться фазовым цилиндром (рис, 3,6).

Рис. 3

Состояния равновесия. Нелинейной системе может соответствовать несколько состояний равновесия; их число равно числу действительных корней уравнения (15). По структуре фазовых диаграмм вблизи особой точки можно определить устойчивость или неустойчивость соответствующего состояния равновесия; физически реализуемыми являются только устойчивые состояния равновесия (см. п. 3). Для систем с одной степенью свободы особые точки, соответствующие дискретным устойчивым и неустойчивым положениям равновесия, всегда чередуются на фазовой плоскости. Основные типы особых точек представлены в табл. 7, более подробно вопрос рассматривается в п. 7 гл. II.

Таблица 7 (см. скан)

Часть фазовой плоскости, в которой располагаются все фазовые траектории, стремящиеся к данной устойчивой особой точке, называют областью притяжения этой точки.

При изменении силовой характеристики может измениться тип особой точки Например, соответствующий устойчивому состоянию равновесия консервативной системы центр при введении в систему сколь угодно малого сопротивления превращается в устойчивый фокус, который при дальнейшем увеличении сопротивления может перейти в устойчивый узел. Если в систему вводить отрицательное сопротивление, то центр переходит в неустойчивый фокус, который затем может превратиться в неустойчивый узел.

Общие свойства фазовых траекторий:

1) в верхней полуплоскости изображающая точка на любой фазовой траектории движется в направлении возрастания т. е. слева направо, а в нижней полуплоскости в направлении убывания т. е. справа налево;

2) в регулярных точках оси фазовые траектории пересекают эту ось под прямым углом;

3) в регулярных точках, не лежащих на оси фазовая траектория не можег иметь касательной, параллельной оси

4) если какая-либо непрерывная фазовая траектория последовательно пересекает ось в двух регулярных точках, то между этими точками находится по крайней мере одна особая точка;

5) в интервале времени, в котором непрерывная фазовая траектория не пересекает ось она может пересечь любую прямую, параллельную оси не более одного раза;

6) периодическим режимам движения соответствуют замкнутые фазовые траектории.

В табл. 8 даны фазовые диаграммы для ряда типичных нелинейных систем.

Изолированные замкнутые фазовые траектории (т. е. такие замкнутые траектории, в окрестности которых нет других замкнутых траекторий) называют предельными циклами.

Предельный цикл называют устойчивым, если любая фазовая траектория, начинающаяся в достаточно малой окрестности этого цикла, неограниченно к нему приближается (табл. 8, пп. 11, 15); соответствующее предельному циклу движение механической системы представляет собой установившиеся автоколебания. В противоположном случае предельный цикл называется неустойчивым; движение механической системы, соответствующее неустойчивому предельному циклу, физически нереализуемо (табл. 8, п. 12).

Ту часть фазовой плоскости, в которой располагаются все фазовые траектории, стремящиеся к данному предельному циклу, называют областью притяжения этого цикла.

Неустойчивые предельные циклы разделяют фазовую плоскость на области притяжения к особым точкам или устойчивым предельным циклам. Устойчивые и неустойчивые предельные циклы чередуются на фазовой плоскости.

Изолированные фазовые траектории, проходящие через особую точку типа седло, называют сепаратриссами. Движение механической системы, соответствующее движению изображающей точки по сепаратриссе, неустойчиво и физически нереализуемо. Сепаратриссы разделяют фазовую плоскость на области начальных условий, приводящих к движениям принципиально различных типов (см. гл. III).

Об аналитических и графоаналитических способах построения фазовых траекторий на основе уравнения (14) см. в гл. II.

Особенности колебательных явлений в нелинейных механических системах. В нелинейных системах, в частности механических, принцип суперпозиции не выполняется (в этом главное отличие свойств нелинейных систем от свойств линейных). Например, результат (отклик) одновременного действия двух вынуждающих сил не равен сумме результатов (откликов), вызываемых порознь каждой из них, а изменение масштаба возбуждения не приводит к пропорциональному изменению масштаба отклика. Это свойство можно использовать в качестве критерия при экспериментальной проверке линейности конкретной механической системы.

Наиболее существенные особенности нелинейных колебательных систем: возможность существования нескольких положений равновесия; неизохронность свободных колебаний, неоднозначность зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты гармонической вынуждающей силы; возникновение супер- и

(см. скан)

(см. скан)

субгармонических колебаний; возможность существования автоколебательных режимов, а также явлений захватывания и затягивания.

Неизохронность свободных колебаний консервативных нелинейных систем. Частота сгободных колебаний нелинейных систем обычно зависит от начальных условий, т. е. связана с размахами колебаний. Это свойство называется неизохронностью. Для консервативной системы с симметричной силовой характеристикой точная зависимость угловой частоты свободных колебаний от полуразмаха А имеет вид

где характеристика восстанавливающей силы, отнесенной к единице массы. Такие зависимости пр иведены в табл. 9 (пп. последних двух случаях (пп. 7, 8) частота колебаний не зависит от их размаха (изохронные системы).

Неоднозначность зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты гармонической

Таблица 9 (см. скан)

вынуждающей силы. При действии гармонической вынуждающей силы в системе с нелинейной восстанавливающей силой существуют стационарные колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Зависимость амплитуды первой гармоники вынужденных колебаний от частоты гармонической вынуждающей силы со называют амплитудно-частотной характеристикой а графическое изображение этой зависимости — резонансной кривой. В нелинейных системах могут существовать такие диапазоны частот, в которых зависимость неоднозначна. В табл. 10 приведены резонансные кривые для типовых нелинейных систем, когда амплитуда гармонической вынуждающей силы постоянна, а в табл. 11 для случаев, когда амплитуда гармонической вынуждающей силы пропорциональна квадрату частоты (инерционное возбуждение колебаний).

Таблица 10 (см. скан)

Штрихпунктирными линиями показаны скелетные кривые — зависимости полуразмахов свободных колебаний от частоты (см. табл. 9), штриховыми линиями—ветви АЧХ, соответствующие неустойчивым (физически нереализуемым) режимам движения. Во всех приведенных примерах указаны области частот, в которых возможны два устойчивых режима вынужденных колебаний с двумя

Таблица 11 (см. скан)

различными амплитудами (например, при частоте из этой области возможны колебания с амплитудами При увеличении сопротивления области неоднозначности режимов уменьшаются и могут полностью исчезнуть. При медленном изменении частоты возбуждения (таком, что при каждом ее значении успевает установиться режим стационарных вынужденных колебаний) могут происходить срывы или скачки амплитуд колебаний (рис. 4 и 5).

На амплитудно-частотных характеристиках могут быть изолированные участки (области см. табл. 10, п. 2 и табл 11, пп. 1, 3, 4) Режимы вынужденных колебаний, соответствующие изолированным участкам АЧХ, не могут быть получены при непрерывном изменении частоты возбуждения (см. рис. 5), для возбуждения колебаний большой амплитуды, соответствующих точкам изолированных участков АЧХ, нужно достаточно сильное возмущение основного режима движения (толчок или удар). Если в практических условиях такие возмущения не исключены, то следует считаться с возможностью возникновения любого из названных режимов.

Супер- и субгармонические колебания. При действии гармонической вынуждающей силы на систему с нелинейной восстанавливающей силой кроме гармонических колебаний с частотой возбуждения со одновременно происходят колебания с частотами ты, кратными частоте возбуждения целое число).

Рис. 4

Рис. 5

Такие колебания называют супергармоническими. На рис 6, а, б приведены зависимости амплитуд соответственно первой и третьей гармоник от частоты возбуждения для системы с чисто кубической характеристикой восстанавливающей силы, когда движение описывается дифференциальным уравне нием

Рис. 6

Кроме основных колебаний с частотой возбуждения со и супергармонических колебаний, в системах с нелинейной восстанавливающей силой при гармоническом возбуждении могут также одновременно происходить субгармонические колебания с частотами целое число). Субгармонические колебания могут возникать при относительно больших частотах возбуждения, причем их амплитуда может быть большой и превосходить амплитуду первой гармоники. На рис. 7 показаны зависимости амплитуд от частоты возбуждения для системы, описываемой дифференциальным уравнением

Наличие и интенсивность субгармонических колебаний зависят от параметров, определяющих силы сопротивления, так, для случая, когда движение описывается уравнением (18) при увеличении амплитуды субгармонических колебаний уменьшаются, и при некотором значении 8 эти колебания исчезают.

Супер- и субгармонические колебания являются частными случаями более общего типа колебаний, называемых комбинационными, с угловыми частотами целые числа).

Автоколебания (определение термина см. на с. 22). Различают мягкое и жесткое самовозбуждение автоколебаний. Если состояние равновесия неустойчиво и соответствующая ему особая точка окружена предельным циклом (устойчивым), то самовозбуждение называется мягким нарастающие колебания возникают после сколь угодно малого начального возмущения состояния равновесия системы (см. табл. 8, пп. 11, 13, 15). Если состояние равновесия устойчиво и соответствующая ему точка окружена неустойчивым предельным циклом, который в свою очередь окружен

устойчивым предельным циклом, то для возбуждения автоколебаний, соответствующих устойчивому предельному циклу, необходимо достаточно большое начальное возмущение состояния равновесия, способное «забросить» систему за неустойчивый предельный цикл (см. табл. 8, п. 14). Если на автоколебательную систему действует внешнее возбуждение с частотой близкой к частоте автоколебаний то в системе может установиться колебательный процесс с одной частотой это явление называется захватыванием автоколебательной системы.

Существование (или отсутствие) предельных циклов зависит от параметров силовой характеристики нелинейной механической системы. В частности, при непрерывном изменении одного из параметров (определяющего параметра) может произойти изменение типа особых точек, возникновение или исчезновение предельных циклов; значения параметра, при которых это происходит, называют бифуркационными.

Рис. 7

Рис. 8

Иногда при постепенном переходе значения определяющего параметра через бифуркационное амплитуда возникающего предельного цикла непрерывно возрастает от нуля — мягкое зарождение предельного цикла, при этом устойчивая особая точка становится неустойчивой (рис. этом рисунке, как и на рис. 8, б, черные точки соответствуют устойчивым режимам, а белые — неустойчивым).

В других случаях при бифуркационном значении параметра сразу возникает предельный цикл с конечной амплитудой — жесткое зарождение предельного цикла.

На рис. 8, б при бифуркационном значении параметра появляется полуустойчивый предельный цикл, а при больших значениях параметра существуют два предельных цикла — неустойчивый и устойчивый. При другом бифуркационном значении параметра неустойчивый предельный цикл стягивается в особую точку, которая становится неустойчивой. Если то амплитуда, соответствующая устойчивому предельному циклу, тем больше, чем больше значение

При непрерывном возрастании определяющего параметра происходит (при смена устойчивого стационарного режима, когда система из состояния равновесия переходит в установившийся режим, соответствующий движению по устойчивому предельному циклу. Если после достижения значения начинается постепенное уменьшение определяющего параметра, то автоколебания исчезают при (а не при ), после чего стационарным режимом является состояние равновесия. Это явление называется затягиванием автоколебаний.