3. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЬЮ, ЦЕЛИКОМ ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Рассмотрим идеальную однородную несжимаемую жидкость и предположим, что массовые силы потенциальные. Тогда при безвихревом движении жидкости ( в произвольной]полости или однородном вихревом движении жидкости в эллипсоидальной полости система тело — жидкость оказывается динамически

эквивалентной механической системе с конечным числом степеней свободы. В обоих случаях указанные свойства движения жидкости сохраняются во всё время движения при любых перемещениях тела. В частности, движение жидкости будет потенциальным, если оно началось из состояния покоя, а в случае эллипсоидальной полости движение будет однородным вихревым, если оно началось из вращения жидкости как одного твердого тела.

В этих случаях задачи об устойчивости и колебаниях твердого тела с жидкостью естественно ставить как задачи об устойчивости по Ляпунову и колебаниях для систем с конечным числом степеней свободы. Постановка и решение задачи устойчивости при безвихревом движении дана в работе [31], а при однородном вихревом движении — в работе [27].

Безвихревое движение жидкости.

Потенциал скоростей абсолютного движения жидкости можно представить в виде [3, 13]

где заданные величины главных циркуляций жидкости в -связной полости тела; гармонические функции в области удовлетворяющие на стенках полости граничным условиям

где орт внешней нормали к поверхности а с составляющими вдоль осей При мысленном введении перегородок делающих полость односвязной, функция убывает на единицу при переходе через перегородку в направлении главного контура и изменяется непрерывно при переходе через все остальные перегородки. Если при жидкость неподвижна, то все Функции зависят только от геометрии полости и не зависят от движения твердого тела.

Кинетическая энергия жидкости

где постоянный симметричный тензор определяется компонентами

а постоянная

представляет собой поток вектора через перегородку Суммарный момент количеств движения тела и жидкости

где вектор, постоянный в системе координат и не зависящий от расположения точки О, для которой он определяется.

Примем за начало осей координат центр масс системы, а оси направим по главным осям эллипсоида

Уравнения движения вокруг центра масс в форме второго из уравнений (15) принимают вид [3]

Такой же вид имеют уравнения движения системы вокруг неподвижной точки.

Уравнения (29) можно рассматривать как уравнения движения некоторого тела с ротором, имеющим постоянный момент количеств относительного движения В случае вектор отсутствует и уравнения (29) совпадают с уравнениями движения преобразованного твердого тела, получающегося из исходной системы заменой жидкости на эквивалентное твердое тело с такой же массой, тем же центром тяжести и с эллипсоидом инерции относительно точки О. Твердое тело с присоединенным к нему эквивалентным телом . Жуковский назвал преобразованным телом [3].

Однородное вихревое движение жидкости в эллипсоидальной полости.

Пусть полость имеет форму эллипсоида

Однородное вихревое движение описывается формулами [13]

Функции определяются из уравнений Гельмгольца вихревого движения жидкости [13]. Для рассматриваемого случая эти уравнения имеют вид

Проекции на оси вектора момента количеств движения жидкости

где

Уравнения движения вокруг центра масс в форме второго из уравнений (15) принимают вид

Их нужно рассматривать совместно с уравнениями (30),