3. ОДНОМАССНЫЕ ВУС

Расчет периодических движений многих машин виброударного действия, например машин для испытаний изделий на ударные сотрясения, технологического оборудования, используемого в литейном производстве (для выбивки опок), вибрационных станков для объемной обработки, вибротранспортных устройств и др. приводит к рассмотрению динамической модели (рис. 7, а), воспроизводящей движение тяжелого шарика, ударяющегося о вибрирующую платформу (ударник), которая движется по гармоническому закону [21]. Ось х направлена

вверх. За начало отсчета времени выбирается момент соударения, происходящего в точке с координатой

При определенных параметрах системы шарик, оторвавшись от платформы, движется некоторое время под действием силы тяжести, а затем ударяется о платформу. В зависимости от условий соударений он может вновь отскочить от платформы либо продолжать двигаться вместе с ней до момента следующего отрыва Если спустя некоторое время координаты соударений, а также скорости шарика в моменты соударений примут стационарные значения, то движение системы будет иметь периодический характер.

Рис. 7

Дополним модель силой сухого трения приложенной к шарику (звену и будем рассматривать режимы его непрерывного подбрасывания при (рис. 7, б). Закон движения на интервале между соударениями в безразмерной форме имеет вид

Знаки «плюс» перед индексах постоянных интегрирования соответствуют интервалу движения звена с положительной скоростью (вверх), знаки «минус» — интер движения с отрицательной скоростью (вниз).

Для отыскания периодических режимов движения в теории ВУС используется метод припасовывайия при котором связывают координаты и скорости соударяющихся звеньев системы на границах интервала их безударною движения. Условия периодичности

где скорости звена соответственно до и после соударения; коэффициент кратности режима (отношение периода движения к периоду колебаний ударника). Значения кип связаны со скоростью и ударника в момент соударения уравнением удара (3). Для отыскания периодического режима используют кроме условие

Точка разделяет два этапа интервала безударного движения, на которых справедливы различные законы (4), отличающиеся направлением силы сухого трения. Из находятся величины, определяющие периодическое движение звена

где

Из (3) и (7) получается уравнение для определения возможных фаз соударения

а также выражение для безразмерного ударного импульса

зависящее только от величин

Из (9) вытекает условие существования периодических режимов

Неравенство (10) получено с использованием условий (5) и (6), описывающих состояние ВУС лишь в определенные моменты времени. Однако (10) может не обеспечивать выполнения во всем интервале условия отсутствия дополнительных соударений при нарушении которого периодический режим рассматриваемого типа невозможен.

Анализ условий отсутствия дополнительных соударений необходим при построении областей существования ВУС и может быть проведен после определения законов движения всех ее звеньев. Как правило, точки соответствующих границ областей существования находят численно или графически. Поэтому в дальнейшем, приводя результаты аналта периодических движений ВУС, не будем останавливаться на условиях отсутствия дополнительных соударений, имея в виду, что проверка этих условий может быть выполнена в каждом конкретном случае по известным параметрам периодического режима.

Фазовое уравнение (9) определяет для любой совокупности параметров, удовлетворяющей (10), два значения фазы значит, два режима кратности Этим свойством нелинейных систем — наличием нескольких периодических решений при заданных значениях параметров — обладают все ВУС.

Известно, что при фиксированных значениях частоты вынуждающей силы и параметров линейной колебательной системы для периодического движения характерно единственное, вполне определенное значение фазового сдвига перемещения по отношению к силе.

В ВУС, линейных в промежутках между соударениями, при гармоническом возбуждении вместо единственного значения фазы определяются два ее значения и соответственно вместо единственного периодического режима получаются два различных режима при одних и тех же параметрах системы.

Кроме того, в рассматриваемых ВУС возможны режимы различных кратностей по два для каждого значения кратности. Каждому из кратных режимов соответствует свое значение фазового угла.

Общий вид фазового уравнения ВУС, линейных в промежутках между соударениями, при гармоническом возбуждении

где функции параметров системы и возбуждения, остается неизменным для одномассных и двухмассных ВУС с различным числом ударных пар, а также для многомассных ВУС.

Специфической в каждом случае является структура коэффициентов фазового уравнения, зависящая от конструкции системы, значений ее собственных параметров, амплитуды и частоты возбуждения, а также от кратности периодического режима.

Учитывая сказанное, движения ВУС, в отличие от линейных, целесообразно описывать не фазовыми и амплитудными, а фазовыми и импульсными характеристиками.

Пусть ударник на рис. 7, а неподвижен и (система консервативна). При этих условиях звено двигаясь под действием собственного веса, будет периодически соударяться с ударником. Такие движения в теории ВУС называются свободными виброударными колебаниями. Ни в одной физической системе эти колебания поддерживаться не могут, однако такая идеализация часто оказывается полезной при анализе вынужденных колебаний ВУС, содержащих упругие связи.

Описанный выше метод расчета периодических движений ВУС применим к различным динамическим моделям одномассных систем.

Для расчета периодического движения несимметричной одномассной ВУС, общий интеграл уравнения движения которой в интервале между соударениями известен, необходимо определить две постоянные интегрирования и фазу соударения

Если звено соударяется с неподвижным ограничителем, расположенным в начале координат, то эти величины находят из трех условий периодичности

Если звено взаимодействует с ударником, движущимся по закону то вместо (12) используют условия

Уравнения (12) и (13) для линейной в интервалах между соударениями системы линейны относительно Если к звену приложена гармоническая внешняя сила (или ударник движется гармонически), то, исключив приходят к фазовому уравнению (11), из которого определяют соответствующие значения фазы соударения.

В симметричных одномассных ВУС простейшим периодическим режимом является режим с двумя соударениями звена за период, который включает два интервала с различными законами движения. Под симметрией возбуждения понимают выполнение в любой момент времени соотношения

для периодической силы приложенной к звену или равенства

для закона движения ударника (гармоническое возбуждение симметрично). Условия (14) или (15) обеспечивают возможность существования симметричных режимов движения звена (I — нечетное)

Это условие позволяет при отыскании симметричного двухударного режима ограничиться рассмотрением только одного из интервалов движения звена Соответствующие постоянные интегрирования и фазу удара определяют из уравнений, которые непосредственно следуют из (12) или (13) и условия симметрии (16): для систем с неподвижным ограничителем

для систем с ударником

где зазор; момент соударения с левым ограничителем; начало координат совпадает с осью симметрии системы.

В табл. 1 представлены модели одномассных ВУС, включающих системы симметричные и несимметричные, с упругими связями и без них, с различным числом ударных пар. Некоторые из этих моделей обладают диссипативными свойствами в форме линейного трения Для каждой из этих моделей в таблице приведено дифференциальное уравнение движения звена в интервалах между его соударениями. Виброударные режимы с одним соударением за период движения в каждой ударной паре полностью описываются коэффициентами фазового уравнения, определяющими фазу соударения, и величиной ударного импульса сообщаемого в процессе удара звену Кроме этого, в табл. 1 приведены коэффициенты характеристического уравнения, определяющего условия устойчивости (см. п. 4). Все данные, приведенные в табл. 1, а также в табл, 2 и 3 (см, ниже), взяты из работы [20].

(см. скан)

(см. скан)