3. АВТОКОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКА ФРОУДА

На равномерно вращающийся с угловой скоростью вал насажена с некоторым трением втулка с жестко прикрепленным к ней маятником (рис 3). Уравнение движения такого маятника при малых значениях имеет вид [17]

где I — момент инерции маятника относительно оси вращения; коэффициент вязкого сопротивления; масса маятника; - расстояние от оси вращения до центра тяжести; момент сил сухого трения, возникающих между валом и муфтой

Момент сил трения является функцией относительной угловой скорости

Примерный график функции показан на рис. 4. Функция может иметь «падающие участки», на которых

Выберем так, чтобы при было Предполагая, что разложим функцию в ряд по степеням и пока ограничимся первыми тремя членами разложения. Уравнение движения маятника примет вид

где

Если коэффициент вязкого трения мал, а момент сухого трения почти не отличается от постоянного, можно считать, что безразмерные величины

Тогда

где - малый параметр, характеризующий близость рассматриваемой системы к линейной консервативной,

Рис. 3

Рис. 4

Если искать решение уравнения (5) в виде где меняющиеся функции, то уравнения первого приближения для определения и будут иметь вид (см. п. 4 гл. II, а также [3])

где

Вычислив интегралы, представим уравнения для в форме

Состояния равновесия для первого уравнения (6) определяются корнями уравнения

Корень существует, если имеют противоположные знаки. Устойчивость или неустойчивость состояния равновесия определяется знаком производной

при соответствующем состоянию равновесия. Возможные при этом случаи приведены в таблице.

(см. скан)

В случае 1 колебания неограниченно возрастают; в случае 2 на фазовой плоскости имеется неустойчивый предельный цикл: при колебания затухают, при колебания неограниченно возрастают; в случае 3 колебания затухают; в случае 4 на фазовой плоскости имеем устойчивый предельный цикл (рис. 5); маятник совершает автоколебания

Рис. 5

При уменьшении а предельный цикл стягивается к началу координат плоскости При он сольется с неустойчивым состоянием равновесия в начале координат и «передаст» ему свою устойчивость. Таким образом, если менять а от положительных значений до отрицательных, то при переходе через нуль возникают автоколебания, амплитуда которых, начиная от нуля, непрерывно увеличивается (при непрерывном увеличении Такой режим возникновения автоколебаний называют «мягким».

Неограниченное нарастание колебаний, формально обнаруженное в первых двух случаях, практически невозможно Следовательно приближение, взятое при разложении функции является недостаточным, и требуется учет членов разложения более высоких порядков. Можно показать, что при этом получается

при условии, что

Рассмотрим случай считая фиксированными. Одно состояние равновесия уравнений первого приближения существует всегда. Два других определяются из уравнения

Уравнение (7) на плоскости представляет параболу (рис. 6), пересекающую

ось в точках Вертикальная касательная к этой параболе проходит через точку с координатами Области устойчивости определяются знаком производной

На плоскости парабола

(на рис 6 показана штриховой линией) отделяет область устойчивости, где от области неустойчивости, где

Для существует только одно устойчивое состояние равновесия, соответствующее затухающим колебаниям маятника При состояний равновесия уравнений первого приближения три: устойчивое неустойчивое, соответствующее нижней части параболы, построенной по уравнению (7), и устойчивое, соответствующее верхней части параболы. На фазовой плоскости это соответствует устойчивой особой точке, неустойчивому предельному циклу и устойчивому предельному циклу (рис 7), для всех начальных условий, лежащих внутри неустойчивого цикла, колебания маятника затухающие При начальных условиях, лежащих вне этого цикла, устанавливаются автоколебания.

Рис. 6

Рис. 7

При на фазовой плоскости состояние равновесия в начале координат неустойчиво, а единственный предельный цикл устойчив; при любых начальных условиях маятник совершает автоколебания. Характерно, что при маятник может находиться или в покое, или совершать автоколебания Это значит, что если маятник находится в покое, то, сообщив ему определенный толчок, можно привести его в режим автоколебаний

При изменении а от положительных значений до отрицательных получаем, что если при маятник находится в покое, то при возникнут автоколебания конечной амплитуды При дальнейшем уменьшении а амплитуда автоколебаний будет постепенно увеличиваться. Такой режим возникновения автоколебаний называют «жестким»

При изменении а от отрицательных значений до положительных амплитуда автоколебаний постепенно уменьшается, при автоколебания с конечной амплитудой прекратятся; и маятник придет к устойчивому состоянию равновесия

Из приведенного анализа следует, что возникновение и прекращение автоколебаний происходит при разных значениях параметра а. Это явление называется «затя гиванием».