5. МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Метод точечных отображений возник одновременно с появлением качественной теории дифференциальных уравнений в основополагающих работах А. Пуанкаре, который использовал так называемые секущий отрезок (поверхность) и функцию последовання (см. ниже) при исследовании поведения фазовых траекторий на плоскости [551, при изучении разбиения на фазовые траектории тора [55], при рассмотрении задач небесной механики [56] и в менее явном виде — в теории периодических решений, которая после соединения с теорией устойчивости А. М. Ляпунова в работах А. А. Андронова и А. А. Внтта, стала широко известна как метод малого параметра (см. гл. II, п. 3).

В работах Д. Бнркгофа метод секущей поверхности, состоящий в рассмотрении фазовых траекторий с помощью точечного отображения, порождаемого ими на секущей поверхности, превратился в основной инструмент теоретического изучения динамических систем [6].

В качестве поясняющего примера рассмотрим задачу о движении шара на горизонтальном столе, борт которого образует произвольную замкнутую гладкую выпуклую кривую (рис 12)

Пусть две произвольные последовательные точки соударения шара с бортом и расстояния вдоль кривой от некоторой ее точки до точек углы, образуемые направлениями движения отскочившего шара с касательной к кривой в местах отскока (рис 12) Справедливы соотношения

Совокупность значений образует внутренность кольца (рис 13), на внутренней окружности которого на внешней Соотношения (137) можно рассматривать как точечное отображение этого кольца в себя

Рис. 12

Рис. 13

Это отображение сохраняет площадь, и к нему можно применить «последнюю геометрическую теорему» Пуанкаре, что позволяет обнаружить у отображения неподвижные точки (см ниже) соответствующие различным типам периодических движений шара [6]

Общее описание метода секущей поверхности.

Рассмотрим фазовое пространство системы. Выберем в нем какую-нибудь поверхность без контакта 5 и введем на этой поверхности некоторую систему координат Если размерность фазового пространства исследуемой системы то любая точка на поверхности будет характеризоваться не более чем координатами, т. е. Зададим на поверхности некоторую точку с координатами и рассмотрим фазовую траекторию, проходящую через эту точку в направлении увеличения времени Может случиться, что фазовая траектория больше не пересечет поверхность Тогда говорят, что точка не имеет последующей. Но может быть и так, что спустя некоторое ко; нечное время фазовая траектория снова пересечет поверхность в некоторой точке с координатами, Точка называется последующей для точки Преобразование, устанавливающее однозначное соответствие между всеми точками поверхности и их последующими, называется точечным отображением поверхности в самое себя. Это преобразование записывается в виде

где оператор точечного отображения.

Если какая-либо точка отображается сама в себя, т. е. то такая точка называется неподвижной. Очевидно, что неподвижным точкам соответствуют замкнутые траектории, т. е. периодические решения системы. Замкнутые траектории соответствуют также и -кратным неподвижным точкам, когда при Знание точечного отображения позволяет иайти предельные циклы системы как его неподвижные точки. Более того, оно позволяет судить об устойчивости

предельных циклов. Пусть периодическому движению соответствует -кратная неподвижная точка Рассмотрим некоторую точку в окрестности точки и воздействуем на нее оператором точечного отображения Тогда получим точку На точку снова подействуем оператором и получим точку Если предельный цикл асимптотически устойчив, то

и наоборот, если это требование выполняется для любой точки близкой к точке то соответствующее ей периодическое движение устойчиво

В частности, для системы второго порядка поверхность без контакта представляет собой плоскую кривую, а положение точки на кривой без контакта можно характеризовать одной координатой, например, длиной некоторого отрезка кривой. Обозначим эту координату через Координату последующей точки обозначим через Очевидно что Сбудет функцией т. е. Пусть точка является неподвижной точкой. Тогда эта точка устойчива, если

В противном случае неподвижная точка неустойчива.

Ряд примеров применения метода точечных отображений к исследованию конкретных линейных колебательных систем приведен ниже, а также в гл. VI.