4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Для изучения закономерностей нелинейных колебаний твердого тела в областях пространственной неустойчивости рассмотрим некоторые сравнительно простые случаи периодических и почти периодических движений твердого тела.
I. Пусть внешние силы имеют значения 
причем 
Тогда двенадцать уравнений для огибающих в первом приближении будут уравнениями типа
Последние десять уравнений относительно 
попарно допускают интегралы вида
где 
Принимая во внимание формулы (25), для определения переменных 
получаем
Эти уравнения при 
допускают интеграл
причем 
Если 
то соотношения (27) представляют собой семейство линий Кассини, в частности при 
лемнискату Бернулли (рис. 4, а). При этом 
При 
будем иметь картину, представленную на рис. 4, б.
Рис. 4
В общем случае при выполнении неравенства 
интегральные кривые принимают форму, показанную на рис. 4, в, где 
Более сложные периодические движения будет совершать тело в случае кратных резонансов. Движение тела при этом может оказаться трехмерным или четырехмерным в зависимости от выполнения резонансных соотношений [4].
II. Рассмотрим комбинационный резонанс вида 
Вводя расстройки 
и соотношение 
получаем следующие уравнения для огибающих, характеризующие колебания тела в направлении координат 
где
(см. скан)
С учетом замены переменных 
находим стационарные значения амплитуд и фаз этих колебаний
(см. скан)
где 
произвольные постоянные. 
Рис. 5
в направлении координат 
и 
зависят от параметров 
Изменение степени распределения треиия по координатам влияет на соотношения амплитуд колебаний 
Например, при 
имеем 
Чем больше сопротивление по координате 
тем меньше амплитуда колебаний в направлении этой координаты, однако при этом увеличивается амплитуда колебаний в направлении координаты 
наблюдается обратно пропорциональная зависимость между величинами 
Следовательно, происходит перераспределение энергии колебаний по координатам 
и 
в зависимости от степени перераспределения по ним сил сопротивлений движению тела. Резонансные кривые, построенные согласно (29), в зависимости от сочетания параметров системы показаны на рис. 5. Устойчивые режимы стационарных колебаний соответствуют жирным линиям.
