Функция Грина задачи о периодических решениях.

Рассмотрим линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и периодическим возмущением

где квадратная -периодическая матрица порядка -мерный вектор; периодическая векторная функция периода

Когда среди характеристических показателей соответствующей линейной однородной системы нет показателей с нулевой вещественной частью, система (171) имеет единственное периодическое решение Это решение можно представить в виде

Матричная функция определяющая решение при всех удовлетворяет равенству

условию скачка

где единичная матрица, и оценке

где а и К — некоторые положительные постоянные.

Функцию удовлетворяющую указанным выше условиям, называют

функцией Грина задачи о периодических решениях. Если имеется квазилинейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

где по сравнению с линейной системой (171) имеется дополнительное слагаемое причем 8 — малый положительный параметр, непрерывно дифференцируемая векторная функция по х в некоторой области и непрерывная по при достаточно малых то последняя имеет периодическое решение Это решение непрерывно зависит от 8 и удовлетворяет интегральному уравнению

всякий раз, когда линейная система уравнений (171) имеет функцию Грина задачи о периодических решениях

Интегральное уравнение (174) можно решать методом последовательных приближений, выбирая за начальное приближение функцию определяемую соотношением (172). Для перехода от системы дифференциальных уравнений (173) к системе интегральных уравнений (174) необходимо знать функцию Грина В частном случае, когда матрица постоянна, функция Грина имеет вид

где

— матрицы, связанные с матрицей А равенством

и такие, что вещественные части характеристических чисел для отрицательны, а для положительны. Если все характеристические числа матрицы А обладают отрицательными вещественными частями, то функция Грина имеет согласно (175) следующий вид: