2. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

В табл. 1 приведены физические модели нелинейных систем с одной степенью свободы, движение которых описывается дифференциальным уравнением

в котором обобщенная координата; соответственно консервативная, диссипативная и вынуждающая силы, отнесенные к инерционному коэффициенту системы. Предполагаем, что При этом устойчивое положение равновесия. Предполагаем также, что диссипативная сила удовлетворяет условию

и является малой по величине по сравнению с восстанавливающей силой (система со слабой диссипацией).

Вынужденные колебания, близкие к гармоническим. Если гармоническая функция времени, т. е.

то в системе, описываемой уравнением (!), после некоторого переходного процесса устанавливаются периодические колебания периода или периода, кратного Колебания периода называют основными вынужденными колебаниями. Обычно блаюдаря фильтрующим свойствам линейной части системы, описываемой уравнением (1), в основных колебаниях преобладают постоянная составляющая и первая гармоника, а высшие гармоники имеют малые амплитуды. Это позволяет искать приближенное периодическое решение периода в форме

При сформулированных условиях метод гармонического баланса (см. гл. II) приводит к следующим уравнениям для определения постоянной составляющей

(см. скан)

колебаний амплитуды первой гармоники о и сдвига 9 по фазе между колебаниями и вынуждающей силой:

где

Если с помощью уравнения (5) выразить через а и подставить в выражение для то из последнего можно определить приближенную зависимость квадрата частоты свободных колебаний соответствующей консервативной системы от амплитуды первой гармоники

График зависимости определяемой из (10), называют скелетной кривой. При подстановке в выражение для получим зависимость эквивалентного коэффициента сопротивления от амплитуды

Из (6) и (7) находим

График зависимости а называют резонансной кривой. При вязком (линейном) трении

В общем случае для определения формы резонансной кривой достаточно найти точки пересечения скелетной кривой и линии, уравнение которой

Точки пересечения (рис. 1) определяют число ветвей резонансной кривой; абсциссы этих точек приблизительно равны частотам, на которых резонансные кривые имеют вертикальные касательные, а ординаты — экстремальным значениям амплитуд [7]. В табл. 2 приведены характерные формы резонансных кривых, соответствующие различным формам скелетных кривых и зависимостям

Анализ формы резонансгых кривых позволяет выявить особенности основных вынужденных колебаний в системах с вязким трением,

(см. скан)

(см. скан)

1. При одной и той же вынуждающей силе в системе могут существовать периодические колебания различных амплитуд. Например, в системе, резонансная кривая которой имеет форму, показанную на рис. 2, при существуют три периодических режима с амплитудами колебаний Колебания с амплитудой неустойчивы и в действительности не реализуются (см. ниже). Установление в системе колебаний с амплитудой или зависит от начальных условий, которые обычно не могут быть точно заданы.

Рис. 1

Рис. 2

Поэтому приходится учитывать возможность установления в системе любого из устойчивых режимов, а также возможность «перескока» с одного режима на другой при действии каких-либо случайных возмущений (например, толчков или ударов). Исследование зависимости установившегося движения от начальных условий связано с определением областей притяжения для каждого из периодических решений уравнения (1). Более подробно об этом см. в гл. 1 и в работе

2. Колебания, имеющие большую амплитуду, принято называть резонансными. При резонансных колебаниях максимальные значения существенно превосходят максимальные значения Иными словами, при резонансных колебаниях системы сумма оказывается малой величиной (по сравнению с максимальным значением каждого из слагаемых). Это позволяет говорить о близости резонансных колебаний нелинейной системы к свободным колебаниям соответствующей консервативной системы, при которых

Таким образом, и в нелинейных системах резонансные колебания могут рассматриваться как свободные колебания, поддерживаемые вынуждающей силой, которая компенсирует действие диссипативных сил.

Близость резонансных колебаний к свободным выражается, в частности, в том, что соответствующие им участки резонансных кривых располагаются вблизи от скелетных кривых системы.

3, При медленном изменении частоты вынуждающей силы поведение нелинейной системы также обнаруживает ряд особенностей. Так, в системе, резонансная кривая которой показана на рис, 2, при увеличении изображающая точка,

соответствующая периодическим колебаниям, «движется» сначала по кривой А В. В точке В происходит срыв колебаний (по линии на нижнюю ветвь резонансной кривой. При уменьшении частоты от значений изображающая точка движется по кривой На частоте происходит скачок амплитуды до значения, соответствующего точке

Если резонансная кривая имеет дополнительные изолированные ветви (рис. 3), то становится возможным проход всего частотного диапазона по нижней ветви. Выход на изолированную ветвь оказывается возможным (например, при в результате случайного толчка или удара.

Рис. 3

Рис. 4

При сухом (кулоновом) трении

На тех частотах, на которых колебания, близкие к гармоническим, не существуют. При этом либо система остается «запертой» сухим трением либо в ней возникают движения с остановками [4].

В случае внутреннего трения в материалах при исследовании движений, близких к гармоническим,

где — параметры материала, из которого изготовлен упругий элемент (см. гл. IV). При этом

Характерная особенность резонансных кривых, построенных по уравнению (19), — совпадение точек максимума амплитуд с точками пересечения резонансной и скелетной кривых.

Условия устойчивости периодических режимов. Условия устойчивости решении (4), полученные на основе метода гармонической линеаризации, имеют вид:

где — соответственно амплитуда и частота исследуемого колебательною процесса. Первое условие выполняется во всех рассмотренных выше случаях. Второе условие позволяет выделить на плоскости область неустойчивых решений. Границы этой области (заштрихована на рис. 4) — геометрические места точек, в которых резонансные кривые имеют вертикальную касательную; в области, где существуют три решения, одно из них неустойчиво.

Субгармонические колебания. Гармоническая вынуждающая сила может возбудить в нелинейной системе периодические колебания с периодом в целое число раз большим, чем Колебания с периодом называют субгармоническими порядка Субгармонические колебания могут существовать в системе наряду с основными вынужденными колебаниями. Области начальных условий, приводящих к установлению в системе субгармонических режимов, обычно сравнительно узкие. Об их определении см. в работе [11].

Условия существования субгармонических колебаний. Пусть уравнение свободных колебаний

имеет периодическое решение с частотой

В работе [6] доказано, что периодическое решение уравнения (22) может быть разло жено в ряд Фурье, содержащий только косинусы кратных гармоник. Субгармонические колебания с частотой X существуют в системе, описываемой уравнением (1), при вынуждающей силе (3), если

где работа диссипативной силы за время, равное при периодическом движении (23);

Для вязкого трения [см. (13)]

При приближенных расчетах можно ограничиться учетом первой гармоники

Для сухого трения [см. (16)]

Определение амплитуды субгармонических колебаний. В первом приближении можно принять, что амплитуда субгармонических колебаний (если выполнено условие существования) равна амплитуде первой гармоники решения (23), которую можно определить по скелетной кривой (при При таком приближении условия существования упрощаются и принимают вид при вязком трении

при сухом трении

при внутреннем трении [см. (18)}

Если условие существования субгармонических колебаний выполнено, то существует по крайней мере один устойчивый субгармонический режим.

Вынужденные колебания при периодической вынуждающей силе. Пусть периодическая функция времени, содержащая высшие гармоники, т. е.

Влияние постоянной составляющей можно учесть, если отнести ее к восстанавливающей силе и сместить положение равновесия системы Высшие гармоники вынуждающей силы обычно фильтруются системой и не влияют на устанавливающиеся в ней колебания. Исключение составляют те случаи, в которых высшие гармоники могут вызвать резонансные явления.

Если 1-я гармоника вынуждающей силы совпадает по частоте с гармоникой свободных колебаний (23), то в системе могут возникнуть резонансные колебания, которые в этом случае называют резонансом порядка Резонансы порядка совпадают с рассмотренными выше субгармоническими колебаниями, резонансы порядка называют супергармоническими.

Вынужденные колебания при полигармонической вынуждающей силе. Пусть

Если отдельные гармоники этого процесса возбуждаются различными и независимыми один от другого источниками, то частоты могут оказаться несоизмеримыми, а процесс непериодическим.

Приближенное решение уравнения (1) ищем в виде

При этом используем метод эквивалентной линеаризации нелинейных функций связанный с введением в рассмотрение функций распределения детерминированных процессов [7].

В случае вязкого трения уравнение (1) принимает вид

и затем линеаризуется. В полученном уравнении

коэффициенты линеаризации являются функциями моментных характеристик решения (34), т. е. среднего значения центрального момента второго порядка

и центрального момента четвертого порядка

где не содержит слагаемых, соответствующих Зависимости коэффициентов линеаризации от моментов решения

где

Решение линеаризованного уравнения

Из (37) — (41) получаем систему уравнений для определения неизвестных параметров :

Для решения этой системы удобно использовать метод последовательных приближений, выбирая предварительно значение по формуле

Рис. 5

Пример. Найти приближенное полигармоническое решение уравнения

Поскольку нечетная функция то По формуле (40) находим

Задаемся предварительно значением [согласно формуле (45)] По формуле (43)

Строим график зависимости (рис. 5) и определяем его точки пересечения с прямой Получаем три решения:

По формуле (44) уточняем значение соответствующее первому решению;

Строим прямую и уточняем решение

Второе приближение достаточно близко к первому, поэтому можно ограничиться найденным приближением.

Аналогично для третьего решения находим Строим прямую и уточняем значение Далее находим из (44) новое значение откуда из графика получаем Найденное приближение уже достаточно близко к предыдущему

Количество приближенных полигармонических решеиий уравнения (1), найденных указанным выше способом, может достичь где число гармоник. Из них решений могут оказаться устойчивыми (одно нерезонансное решение, соответствующее малым колебаниям системы, и резонансных решений, в каждом из которых одна из гармоник имеет большую амплитуду).