Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫВ табл. 1 приведены физические модели нелинейных систем с одной степенью свободы, движение которых описывается дифференциальным уравнением
в котором
и является малой по величине по сравнению с восстанавливающей силой (система со слабой диссипацией). Вынужденные колебания, близкие к гармоническим. Если
то в системе, описываемой уравнением (!), после некоторого переходного процесса устанавливаются периодические колебания периода
При сформулированных условиях метод гармонического баланса (см. гл. II) приводит к следующим уравнениям для определения постоянной составляющей (см. скан) колебаний
где
Если с помощью уравнения (5) выразить
График зависимости
Из (6) и (7) находим
График зависимости а
В общем случае для определения формы резонансной кривой достаточно найти точки пересечения скелетной кривой и линии, уравнение которой
Точки пересечения (рис. 1) определяют число ветвей резонансной кривой; абсциссы этих точек приблизительно равны частотам, на которых резонансные кривые имеют вертикальные касательные, а ординаты — экстремальным значениям амплитуд [7]. В табл. 2 приведены характерные формы резонансных кривых, соответствующие различным формам скелетных кривых и зависимостям Анализ формы резонансгых кривых позволяет выявить особенности основных вынужденных колебаний в системах с вязким трением, (см. скан) (см. скан) 1. При одной и той же вынуждающей силе в системе могут существовать периодические колебания различных амплитуд. Например, в системе, резонансная кривая которой имеет форму, показанную на рис. 2, при
Рис. 1
Рис. 2 Поэтому приходится учитывать возможность установления в системе любого из устойчивых режимов, а также возможность «перескока» с одного режима на другой при действии каких-либо случайных возмущений (например, толчков или ударов). Исследование зависимости установившегося движения от начальных условий связано с определением областей притяжения для каждого из периодических решений уравнения (1). Более подробно об этом см. в гл. 1 и в работе 2. Колебания, имеющие большую амплитуду, принято называть резонансными. При резонансных колебаниях максимальные значения Таким образом, и в нелинейных системах резонансные колебания могут рассматриваться как свободные колебания, поддерживаемые вынуждающей силой, которая компенсирует действие диссипативных сил. Близость резонансных колебаний к свободным выражается, в частности, в том, что соответствующие им участки резонансных кривых располагаются вблизи от скелетных кривых системы. 3, При медленном изменении частоты вынуждающей силы поведение нелинейной системы также обнаруживает ряд особенностей. Так, в системе, резонансная кривая которой показана на рис, 2, при увеличении соответствующая периодическим колебаниям, «движется» сначала по кривой А В. В точке В происходит срыв колебаний (по линии Если резонансная кривая имеет дополнительные изолированные ветви (рис. 3), то становится возможным проход всего частотного диапазона по нижней ветви. Выход на изолированную ветвь оказывается возможным (например, при
Рис. 3
Рис. 4 При сухом (кулоновом) трении
На тех частотах, на которых В случае внутреннего трения в материалах при исследовании движений, близких к гармоническим,
где
Характерная особенность резонансных кривых, построенных по уравнению (19), — совпадение точек максимума амплитуд с точками пересечения резонансной и скелетной кривых. Условия устойчивости периодических режимов. Условия устойчивости решении (4), полученные на основе метода гармонической линеаризации, имеют вид:
где Субгармонические колебания. Гармоническая вынуждающая сила может возбудить в нелинейной системе периодические колебания с периодом в целое число раз большим, чем Условия существования субгармонических колебаний. Пусть уравнение свободных колебаний
имеет периодическое решение с частотой
В работе [6] доказано, что периодическое решение уравнения (22) может быть разло жено в ряд Фурье, содержащий только косинусы кратных гармоник. Субгармонические колебания с частотой X существуют в системе, описываемой уравнением (1), при вынуждающей силе (3), если
где
Для вязкого трения [см. (13)]
При приближенных расчетах можно ограничиться учетом первой гармоники
Для сухого трения [см. (16)]
Определение амплитуды субгармонических колебаний. В первом приближении можно принять, что амплитуда субгармонических колебаний (если выполнено условие существования) равна амплитуде
при сухом трении
при внутреннем трении [см. (18)}
Если условие существования субгармонических колебаний выполнено, то существует по крайней мере один устойчивый субгармонический режим. Вынужденные колебания при периодической вынуждающей силе. Пусть
Влияние постоянной составляющей можно учесть, если отнести ее к восстанавливающей силе и сместить положение равновесия системы Высшие гармоники вынуждающей силы обычно фильтруются системой и не влияют на устанавливающиеся в ней колебания. Исключение составляют те случаи, в которых высшие гармоники могут вызвать резонансные явления. Если 1-я гармоника вынуждающей силы совпадает по частоте с Вынужденные колебания при полигармонической вынуждающей силе. Пусть
Если отдельные гармоники этого процесса возбуждаются различными и независимыми один от другого источниками, то частоты могут оказаться несоизмеримыми, а процесс непериодическим. Приближенное решение уравнения (1) ищем в виде
При этом используем метод эквивалентной линеаризации нелинейных функций В случае вязкого трения уравнение (1) принимает вид
и затем линеаризуется. В полученном уравнении
коэффициенты линеаризации
и центрального момента четвертого порядка
где
где Решение линеаризованного уравнения
Из (37) — (41) получаем систему уравнений для определения неизвестных параметров
Для решения этой системы удобно использовать метод последовательных приближений, выбирая предварительно значение
Рис. 5 Пример. Найти приближенное полигармоническое решение уравнения
Поскольку
Задаемся предварительно значением
Строим график зависимости По формуле (44) уточняем значение
Строим прямую Второе приближение достаточно близко к первому, поэтому можно ограничиться найденным приближением. Аналогично для третьего решения находим Количество приближенных полигармонических решеиий уравнения (1), найденных указанным выше способом, может достичь
|
1 |
Оглавление
|