Свободные колебания жидкости в неподвижном сосуде.

Рассмотрим подробнее вспомогательную краевую задачу для определения колебании жидкости в неподвижном сосуде и методы ее решения. Для некоторых простых полостей эта задача решается методом разделения переменных Фурье. В общем случае ее можно решить на ЭВМ интегральным методом Ритца или другими методами с использованием аналитических решений для простейших полостей [1].

В линейном приближении значительно упрощаются граничные условия для жидкости; их можно задавать на известной невозмущенной свободной поверхности жидкости и смоченной поверхности полости. Согласно (5), (6), (9), (11) и (14) функция должна быть гармонической в области занятой жидкостью в положении равновесия, и должна удовлетворять граничным условиям

где уравнение свободной поверхности жидкости в системе координат, жестко связанной с полостью так, что плоскость совпадает с невозмущенной свободной поверхностью жидкости (рис. 1).

Исключая из последних двух условий в (32) функцию получаем

После нахождения функции форма волны определяется выражением

Введем оператор Неймана

который ставит в соответствие функции функцию гармоническую в области и удовлетворяющую условиям если если Здесь функция Грина задачи Неймана для области

Рис. 1

Используя очевидное соотношение последнее условие в (32) представим в виде интегро-дифференциального уравнения для определения функции

Свободными (или собственными, или главными) колебаниями жидкости называют такие потенциальные течения, потенциал скоростей которых имеет вид

Число называют собственной частотой колебания.

На основании (34) форма поверхности волны свободного колебания определяется уравнением

Функция гармоническая в области и удовлетворяет граничным условиям

При подстановке (36) в (35) получим уравнение для определения функции

Таким образом, функции определяющие форму свободной поверхности жидкости, являются собственными функциями линейного оператора На основании общих теорем функционального анализа легко установить следующие свойства этих функций [13]:

1) при движении жидкости около положения равновесия в сосуде раниченных размеров существуют собственные колебания, т. е. решения вида

2) собственные числа положительные, имеют конечную кратность и образуют неограниченно возрастающую последовательность

3) собственные функции оператора которые описывают главные формы свободных колебаний жидкости, таковы, что последовательность функций полна и ортогональна;

4) собственные числа и собственные функции могут быть определены методом Ритца.

Для установления характера движения жидкости рассмотрим простейший пример плоских колебаний (в плоскости жидкости в канале прямоугольного сечения (рис. 2). Частные решения ищем в виде После разделения переменных в уравнении Лапласа и учета граничных условий (32) получим

где с — постоянная; любое натуральное число.

Таким образом, в прямоугольном канале могут возникать стоячие колебания жидкости, описываемые формулами (39). Таких форм колебаний бесчисленное множество, так как каждому натуральному числу соответствует своя форма колебаний. В каждом главном колебании при фиксированном у точка поверхности волны совершает периодические колебания с частотой В узлах при амплитуда равна нулю.

Рис. 2

Рис. 3

При фиксированном волна имеет форму косинусоиды. В моменты - свободная поверхность жидкости горизонтальна.

На рис. 2 изображена одноузловая форма главных колебаний, на рис. 3, а двухузловая и на рис. 3, б — трехузловая.

Обратим внимание на зависимость частоты от параметра (относительной глубины), которая приведена в таблице (через х обозначена величина

В работе [12], откуда заимствована эта таблица, приведены также таблица собственных частот, их зависимости от параметров для ряда других форм полостей и обширная библиография.

Величина собственной частоты заметно изменяется с глубиной только для очень мелких полостей и только для первых собственных частот, когда длина волны не очень мала. Для сосудов более или менее значительной глубины и для частоты с достаточной степенью точности справедлива приближенная формула Заметим, что для собственных частот колебаний жидкости в сосуде, глубина которого в 2 раза меньше ширины зеркала свободной поверхности, последняя формула дает погрешность не более 4%,

(см. скан)

Уравнения движения частиц жидкости, лежащих на определенной глубине, можно получить дифференцированием потенциала скоростей по

где

Частицы жидкости совершают прямолинейные колебания около своего начального положения с частотой и амплитудой Амплитуды убывают с глубиной по экспоненциальному закону и тем быстрее, чем больше частоты колебаний, На рис. 4 отрезками прямых изображены траектории частиц, лежащих на глубине Частицы жидкости, лежащие на одной вертикали с узлами, движутся по горизонтальным прямым.

Рис. 4

Главные колебания можно разделить на два типа: четные и нечетные. Для первого типа колебаний свободная поверхность представляет собой волну, симметричную относительно прямой Это волны четных индексов. Они не смещают центр тяжести жидкости в горизонтальном направлении. Можно показать, что никакими горизонтальными перемещениями сосуда нельзя вызвать на поверхности жидкости, которая в нем налита, волн этого типа. В свою очередь, подобные волны, возникшие вследствие каких-либо причин на поверхности жидкости, налитой в сосуд, не могут оказать никакого влияния на характер движения такого сосуда в горизонтальном направлении. Волиы нечетных индексов смещают центр тяжести с вертикальной прямой, и связанное с ними движение жидкости влияет на движение сосуда.