6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ С ЖИДКИМИ ЗВЕНЬЯМИ

Формулы (26), (27) и (31) можно обобщить на произвольные системы с степенями свободы (без учета жидкости), среди звеньев которых имеется тело, содержащее идеальную жидкость В этом случае скорость жидкости можно представить в виде

Тогда кинетическая энергия системы

где

— матрица коэффициентов квадратичной формы, представляющей собой кинетическую энергию системы без жидкости, присоединенные массы жидкости.

С точностью до квадратичных членов потенциальная энергия системы 113]

где -потенциальная энергия системы, когда свободная поверхность жид кости заменена крышкой, потенциальная энергия жидкости в неподвижном сосуде, функции, определяемые точько геометрией полости

На основании принципа Гамильтона уравнения движения системы можно получить, приравнивая нулю вариацию функционала [13]

Для упрощения записи уравнений перейдем от переменных к каноническим переменным с помощью известного линейного преобразования, одновременно

приводящего формы к диагональному виду

где собственные частоты системы в том случае, когда свободная поверхность жидкости накрьпа крышкой.

В новых переменных получаем

где линейно выражаются через

Исключая используя формулу Грина и кинематическое соотношение, представим в форме

С помощью принципа Гамильтона получим уравнения колебаний системы в виде [13]

В работе [13] рассмотрен ряд конкретных задач, решение которых сводится к изучению системы (51).

В прикладных задачах иногда целесообразно заменить систему интегро-дифференциальных уравнений (51) бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого достаточно положить в (51)

где полная на ортонормированная система функций. Если в качестве выбрать систему собственных функций оператора то бесконечная система уравнений, соответствующая системе (51), примет вид [13]

где

— собственные частоты колебания жидкости в сосуде.

Уравнения малых колебаний системы можно получить и относительно функции исключая из с помощью кинематического соотношения после дифференцирования по последнего условия в (32). Это приводит к искусственному повышению порядка системы. Охоцимский [17] предложил вместо потенциала скоростей использовать потенциал смещений, определяемый равенством Тогда уравнения запишутся так:

Эти уравнения также могут быть сведены к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, если функцию разложить в ряд Фурье,

При введении «плавающей крышки» аналогичная система уравнений приведена в работе [9], где указаны также значения коэффициентов уравнений для некоторых форм полостей.

Из общих теорем функционального анализа вытекают следующие свойства рассматриваемой задачи [6, 13].

Если консервативная система состоит из конечного числа звеньев и содержит конечное число полостей, частично заполненных идеальной жидкостью, и если в положении равновесия системы потенциальная энергия системы имеет минимум, то при движении этой системы около положения равновесия существуют главные колебания

а частоты этих колебаний являются действительными числами и при Это означает, что положение равновесия устойчиво; система главных колебаний полна, и любое свободное движение системы можно представить как суперпозицию главных колебаний; главные колебания и частоты могут быть найдены методом Ритца.

Здесь считается, что положение равновесия устойчиво, если любое главное колебание ограничено. Таким образом, утверждения, что система главных колебаний полна и любое свободное движение системы можно представить как суперпозицию главных колебаний, являются аналогом теоремы Лагранжа. Если же в положении равновесия системы потенциальная энергия не есть минимум, то среди чисел есть по крайней мере одно отрицательное или равное нулю [6].