Воздействие периодических сил на нелинейные системы с медленно изменяющимися параметрами.

Рассмотрим уравнение

в котором малый параметр, «медленное» время; функция, периодическая по с периодом которую для упрощения выкладок представим в виде

здесь некоторые полиномы Коэффициенты этих полиномов зависят от Будем предполагать, что мгновенная частота внешней периодической силы тоже медленно меняется со временем, кроме того,

коэффициенты имеют достаточное число производных по для всех конечных значений и для любых на интервале строго положительны.

При этих условиях согласно идее асимптотических методов нелинейной механики (12, 39] приближенное решение уравнения (115) в самом общем виде, пригодное для исследования как резонансной зоны, так и подходов к ней из нерезонансной, ищем в виде асимптотического ряда

где периодические функции углов с периодом некоторые небольшие взаимно простые числа, выбор которых зависит от того, какой резонанс собираемся исследовать; функции времени, определяемые из системы дифференциальных уравнений

здесь «собственная частота» системы

После ряда выкладок находим явные выражения для всех функций, стоящих в правых частых ряда (116) и уравнений (117), например, для опредечения д) получаем систему уравнений

где

Частный случай уравнения (115) Уравнение, описывающее колебания нелинейного осциллятора, находящегося под воздействием внешней синусоидальной силы с переменной амплитудой и частотой, имеет вид

где постоянные.

В первом приближении решение уравнения (118) для основного резонанса

где учитывая обозначения (83), должны быть определены из системы уравнений

Здесь соответственно эквивалентный декремент затухания колебаний и эквивалентная частота нелинейной системы, описываемой уравнением (69).

Пример. Рассмотрим задачу о прохождении через основной резонанс нелинейного осциллятора, находящегося под воздействием внешней синусоидальной силы с переменной частотой, колебания которого описываются уравнением

где координата, определяющая положение системы, время, масса; коэффициент сопротивления, нелинейная восстанавливающая упругая сила, амплитуда возмущающей силы, некоторая функция времени

Вводя безразмерные переменные и обозначения согласно формулам (83) находим после чего, воспользовавшись (119) и (120), в первом приближении получаем

где определяются из системы уравнений

Здесь некоторая функция времени, характеризующая изменение мгновенной частоты внешней силы

Рассматривая систему (121) при различных законах изменения частоты внешней силы можно изучить поведение кривых зависимости амплитуды колебаний от частоты внешней силы при медленном ее изменении и прохождении через резонансное значение

Рассмотрим случай, когда мгновенная частота внешней силы зависит от времени линейно, т. е.

Рис. 9

Рис. 10

Скорость прохождения через резонанс зависит от значений Р: чем больше по абсолютной величине тем скорее система проходит через резонанс.

Численно интегрируя систему уравнений (121) при различных значениях получаем ряд кривых прохождения через резонанс, которые приведены на рис. 9—11.

На этих же рисунках приведены стационарные кривые амплитуд (юображены жирными линиями), построенные по формуле (108) и содержащие соответственно точки срыва и точки перехода амплитуд , а также кривые амплитуд переходного режима (нанесены тонкими линиями). Для кривых принято прохождение резонансной зоны происходит за 26 циклов.

На рис. 10 приведены кривые характеризующие довольно быстрое прохождение резонансной зоны. В этом случае принято что соответствует прохождению резонансной зоны приблизительно за 64 цикла. Как следует из рис. 10, кривые прохождения через резонанс значительно отличаются от стационарной кривой.

На рис. 11 приведены кривые и характеризующие очень медленное прохождение через резонанс, а именно для кривой для кривой , что соответствует прохождению резонансной зоны приблизительно за 640 циклов. Из рис. 11 следует, что кривая очень близка к стационарной кривой на участке она почти совпадает с ней и начинает отходить только вблизи точки В. Максимум кривой наступает раньше и расположен чуть ниже, чем стационарной кривой. После первого максимума кривая тоже достаточно близка к стационарной, но имеет несколько характерных максимумов меньшей величины. При изменении частоты в сторону уменьшения получаем кривую которая также близка к стационарной.

Рис. 11