3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Пусть 
вектор обобщенных координат некоторой механической системы, кинетическая энергия которой может быть представлена в виде
где 
постоянная симметричная положительно определенная матрица. В системе действуют консервативные силы, образующие вектор
где 
потенциальная энергия системы, а также диссипативные силы, образующие вектор 
и внешние вынуждающие силы, вектор которых 
Уравнение движения системы
В табл. 3 приведены некоторые физические модели нелинейных систем с несколькими степенями свободы, движение которых описывается уравнением (48).
Если система, описываемая уравнением (48), обладает слабой диссипацией, т. е. если обобщенные силы 
при любом движении системы оказываются малыми (в среднем) по сравнению с консервативными силами, то в системе могут возбуждаться резонансные колебания. При гармонических вынуждающих силах
могут возникать основные резонансные колебания с периодом 
и субгармонические резонансные порядка 
имеющие период 
Исследование резонансных колебаний в системе, описываемой уравнением (48), связано с определением свободных колебаний консервативной системы, движение которой описывается уравнением
Если матрица 
при 
положительно определенная, 
то 
положение устойчивого равновесия системы, в некоторой окрестности которого она может совершать свободные колебания. При определенных условиях уравнение (50) имеет периодические решения вида
где 
вектор обобщенных координат в 
решении; и 
-мерные векторы коэффициентов Фурье в этом решении; 
произвольные постоянные. Решение (51) отвечает нормальным колебаниям соответствующей линейной системы
Зависимость амплитуд первых гармоник колебаний по какой-либо из обобщенных координат от частот 
определяют скелетные кривые системы (50). Примерная форма скелетных кривых показана на рис. 6, на котором 
собственные частоты линейной системы (52), определяемые из уравнения 
Рис. 6
Основные и субгармонические резонансные колебания в системе, описываемой уравнением (48), близки к свободным колебаниям (51). Для того чтобы установить, существуют ли резонансные колебания порядка 
соответствует случаю основных колебаний) при гармоническом воздействии (49), необходимо:
а) определить периодические решения уравнения (50), имеющие частоту 
найти их разложения в ряд Фурье вида (51), определив по крайней мере амплитуды первой и 
гармоник
б) вычислить работу сил сопротивления за период на этих периодических решениях по формуле
При приближенном определении 
можно пренебрегать высшими гармониками в (51), полагая
в) определить работу вынуждающих сил за период на тех же периодических решениях
Субгармонические резонансные колебания могут возникнуть, если хотя бы для одного из рассматриваемых решений уравнение относительно неизвестного параметра
имеет вещественные корни.
Если вынуждающие силы, действующие по каждой из обобщенных координат синфазны, так что
то условие существования субгармонических колебаний упрощается и сводится к следующему:
Нерезонансные колебания в системе (48), вызванные гармонической силой (49), обычно мало отличаются от вынужденных колебаний в линейной системе
где 
— матрица коэффициентов сопротивления при малых колебаниях системы.
Способы решения уравнения (58) изложены в 
