4. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ О СИНХРОНИЗАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Рассмотрим две важные группы конкретных задач о синхронизации объектов механической природы.
Синхронизация орбитальных систем.
Под орбитальной в общем случае будем понимать систему, состоящую из 
взаимодействующих твердых или деформируемых тел, в которой центры масс или другие характерные точки 
тел 
Вмогут совершать движения по замкнутым траекториям относительно некоторого тела 
называемого несущим или центральным (рис. 2), За центральное тело, как правило, можно принять любое из тел системы, однако обычно в качестве такового выбирают вполне определенное, отличающееся от остальных каким-нибудь характерным признаком (например, имеющее значительно большую массу). На каждое из тел помимо сил взаимодействия могут действовать заданные как консервативные, так и неконсервативные силы. С изучением различных частных случаев орбитальных систем приходится сталкиваться в теории вибрационных устройств и в небесной механике.
Рис. 2
Основная задача о синхронизации орбитальных систем состоит в исследовании движений, при которых характерные точки тел 
В движутся по замкнутым траекториям относительно несущего тела Во с одинаковыми или соизмеримыми периодами, совершая синхронные движения также и по всем или некоторым другим обобщенным координатам.
Можно выделить два типа орбитальных систем: свободные и несвободные (каркасные). В свободных орбитальных системах движение характерных точек не подчинено каким-либо кинематическим связям; именно такие системы встречаются, например, в небесной механике. В несвободных системах несущее тело обычно идеализируется в виде одного или нескольких твердых тел, упруго связанных между собой и с неподвижным основанием. Характерные точки тел 
В при этом могут перемещаться по фиксированным замкнутым траекториям внутри твердых тел, образующих несущее тело. Подобные системы играют существенную роль в вибрационной технике (они соответствуют, в частности, динамической схеме вибрационной машины с несколькими механическими вибровозбуднтелями — см. т. 4).
Подавляющее большинство задач о синхронизации орбитальных систем можно рассматривать как задачи о синхронизации слабо связанных квазиконсервативиых объектов или объектов с почти равномерными вращениями (см. п. 3). Синхронизирующимися объектами при этом являются тела 
несущей связью — тело Во, с которым взаимодействуют тела 
а несомые связи определяются взаимодействиями тел 
В небесно-механических задачах, например, взаимодействие тел 
В характеризуется законом всемирного тяготения.
В случае свободной орбитальной системы, а также когда тела 
В имеют несколько степеней свободы относительно тела 
условия устойчивости синхронных движений, выражающиеся с помощью уравнений (8) или интегрального критерия устойчивости, являются лишь необходимыми, хотя и играют, как правило, основную роль. В случае несвободной системы и когда тела 
имеют одну степень свободы относительно тела 
эти условия обычно являются также и достаточными.
Рис. 3
Рассмотрим в качестве примера несвободную плоскую орбитальную систему (рис. 3), состоящую из свободного несущего твердого тела 
массы 
и двух одинаковых неуравновешенных роторов 
массы 
общая ось вращения которых 
проходит через центр тяжести тела 
[28] Несомая связь между роторами осуществляется через массу то, помещенную в вершине С шарнирно-стержневого ромба 
предполагается, что точки 
совпадают с центрами тяжести роторов. На роторы действуют вращающие моменты двигателей асинхронного типа 
и моменты 
сопротивления 
которые предполагаются идентичными для обоих роторов. Положение роторов определяется углами поворота 
отсчитываемыми от фиксированного в теле 
направления 
по ходу часовой стрелки Пусть отношения 
малы, что обеспечивает слабость связей между роторами.
Уравнения движения роторов как изолированных консервативных объектов имеют вид 
где 
моменты инерции роторов относительно их оси вращения 
Порождающее решение, соответствующее синхронному вращению роторов в одинаковых направлениях с одинаковой угловой скоростью 
(рассматриваем случай простой синхронизации, когда 
имеет вид
где 
начальные фазы вращения роторов, которые, как и скорость 
заранее неизвестны (изучаем внутреннюю синхронизацию). Неконсервативные обобщенные силы 
силы 
Поэтому из уравнения баланса энергии (23) при учете (38) получаем:
Из уравнения (46) определяется значение синхронной скорости 
равной парциальным угловым скоростям роторов. Поскольку из (45), (38) и (25) следует, что 
то выражение для потенциальной функции 
согласно (41) может быть представлено в форме
При этом учтено, что роторы являются жестко анизохроиными объектами, так как 
что функция 
определена с точностью до величины, не зависящей от 
а также что несущая связь квазилинейна
Кинетические энергии систем связей первого и второго рода, подсчитанные для порождающего приближения (45), не зависят от времени 
и соответственно равны
где 
эксцентриситет роторов; 
амплитуда колебаний тела 
под действием центробежных сил, развиваемых роторами при их вращении согласно (45); 
Расстояние от центра тяжести массы 
до оси вращения роторов 
Потенциальные энергии связей равны нулю, поэтому 
и аналогично так что
Из условия стационарности функции 
следует, что возможными являются синфазное 
и противофазное 
синхронные вращения роторов При отсутствии несомой связи 
устойчиво противофазное вращение, т. е. вращение, при котором кинетическая энергия несущего тела 
минимальна (в данном случае равна нулю) При отсутствии несущей связи 
устойчив синфазный режим вращения, которому соответствует максимум кинетической энергии массы та При наличии связей обоих родов характер устойчивого синхронного вращения зависит от разности 
т. е. от того, какая связь преобладает Заключение об устойчивости соответствующих движений сделано с учетом того, что дополнительное условие устойчивости (42) в рассматриваемом случае всегда выполняется в силу неравенства
характерного для рассматриваемых систем. На устойчивость синхронных движений не влияет также и нейтральная устойчивость несущего тела 
по координатам 
определяющим его плоское движение Заметим, что в реальных системах рассмотренного типа (см. 
тело 
связывается с неподвижным основанием системой демпфирующих элементов, при учете которых несущая система оказывается асимптотически устойчивой; рассмотрение подобной системы потребовало бы несколько более сложных вычислений, хотя результат в случае «достаточно мягких» упругих элементов остался бы прежним.
Рис. 4
