4. ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ НА МЕХАНИЗМЫ (МАЯТНИКИ И РОТОРЫ). ВИБРАЦИОННАЯ СВЯЗЬ

В этом пункте рассмотрен ряд задач о действии вибрации на механизмы, содержащие маятники и вращающиеся роторы. Основная особенность изучаемых систем состоит в что вибрации основания, на котором установлены механизмы, являются как бы каналом передачи мощности (вращающегося момента); «пропускная способность» этого канала при прочих равных условиях растет с увеличением частоты и амплитуды вибрации. Наличие указанной вибрационной связи приводит к ряду гвоеобразных нелинейных эффектов (см. ниже), которые могут быть истолкованы как результат появления вибрационных моментов в соответствующих уравнениях медленного движения. Наиболее отчетливо вибрационные связи (взаимодействия) проявляются в задаче о самосинхронизации механических вибровозбудителей (см. ниже), где они приводят к взаимной согласованности средних угловых скоростей роторов.

Заметим, что эффекты вибрационной связи наблюдаются не только в механизмах. Примером подобного явления в гидромеханике является обнаруженное и объясненное отцом и сыном Бьёркнесами взаимное притяжение или отталкивание двух пульсирующих шаров, находящихся в жидкости [24].

Колебания маятника с вертикально вибрирующей осью.

Задача о колебаниях физического маятника, ось которого совершает вертикальные колебания с частотой со и амплитудой А, может быть хорошим примером использования изложенного выше подхода [4, 19, 32]; иным путем эта задача рассмотрена Н. Н. Боголюбовым [11], а затем и другими авторами (см. также п. 4 гл. II, стр. 87—88).

Схема и уравнение движения маятника представлены в п. 1 таблицы, где соответственно масса, момент инерции и расстояние от оси до центра тяжести маятника; коэффициент вязкого трения; ускорение свободного падения; угол поворота, отсчитываемый от вертикального направления. К медленным в данном случае можно отнести момент силы вязкого сопротивления и момент силы тяжести к быстрым — момент силы инерции Предполагая, что закон движения маятника имеет вид

где а — основная медленная, а малая быстрая -периодическая по составляющие, выпишем систему уравнений (4) — (5) для рассматриваемой задачи

Переходя к определению периодического решения второго уравнения линеаризируем предварительно его правую часть по и после упрощений с учетом равенства (3) приведем к безразмерной форме

Согласно основному предположению скорость изменения функции значительно превышает скорость изменения а. Последнее приводит в соответствии с первым уравнением (11) к требованию, чтобы частота была в достаточной степени больше частоты свободных колебаний маятника т. е. к требованию малости величины № — по сравнению с единицей Считая величины малыми,

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

положим будем разыскивать периодическое решение уравнения (12) в виде ряда по степеням Ограничиваясь членами, содержащими в степени не выше первой, при учете условия (3) нандем

Теперь по первой формуле (11) после линеаризации по получаем выражение для вибрационного момента

Тогда уравнение медленного движения принимает вид

Из (14) следует, что нижнее положение равновесия маятника при сделанных предположениях всегда устойчиво, а верхнее положение равновесия неустойчивое при отсутствии вибрации, становится устойчивым при наличии вибрации, если справедливо неравенство

При выполнении последнего условия у маятника появляются еще два положения равновесия

которых не было при отсутствии вибрации, однако эти положения равновесия неустойчивы.

Из уравнения (14) следует также, что при наличии вибрации частота свободных колебаний маятника вблизи нижнего положения равновесия

больше частоты при отсутствии вибрации. Иными словами, маятниковые часы на вибрирующем основании будут спешить,

В. Н. Челомей обратил внимание на то обстоятельство, что, подобно случаю с маятником, вибрации могут повысить устойчивость по отношению к постоянным или медленно изменяющимся силам (так называемую статическую устойчивость) многих упругих систем с параметрическим возбуждением [34]. Было установлено, что статическая устойчивость может быть достигнута даже тогда, когда статические нагрузки, действующие на вибрирующую систему, превосходят критические эйлеровы силы. Эти исследования были продолжены С. В. Челомеем [35].

Неуравновешенный ротор на вибрирующем основании.

Задача о захватывании вращения неуравновешенного ротора, приводимого от двигателя асинхронного типа, с помощью методов Пуанкаре — Ляпунова была рассмотрена для частного случая в п. 3 гл. II, а для более общего — в п. 5 гл. VIII; краткие библиографические сведения приведены в п. 8 гл. VIII. Схема системы и уравнение движения даны в п. 2 таблицы. При решении задачи методом прямого разделения движений к медленным следует отнести движущий момент момент сил сопротивления и момент силы тяжести а к быстрым момент сил инерции Выражение для вибрационного момента, совпадающее с полученным в п. 5 гл. VIII методом Пуанкаре, может быть найдено с помощью вычислений, подобных проведенным выше для маятника; в данном случае эти вычисления даже проще вследствие того, что в исходном приближении можно принять Соответствующее выражение для и уравнение медленного движения приведены в п. 2 таблицы. Все результаты анализа, подробно изложенные в п. 5 гл. VIII, получаются из приведенного уравнения, однако оно позволяет изучать также и медленные процессы установления режимов захватывания и вибрационного поддержания вращения неуравновешенного ротора,

Взаимодействие колебательных систем с источником возбуждения ограниченной мощности.

Систематическое рассмотрение данной проблемы на основе использования асимптотических методов, а также соответствующие библиографические сведения приведены в гл. VII. При изучении вопроса с помощью изложенного выше подхода будем исходить из схемы системы и уравнений движения, представленных в п. 3 таблицы. Первое из уравнений является уравнением движения ротора; обозначения параметров, характеризующих ротор и действующие на него моменты, то же, что в п. 2 таблицы. Через обозначен момент сил, действующих на ротор вследствие колебаний тела, на котором он установлен. Второе уравнение описывает движение колебательной части системы, предполагаемой линейной (н есть вектор ее обобщенных координат). Колебательная часть системы может, в частности, состоять из некоторого числа твердых тел связанных одно с другим, а также с неподвижным основанием системой линейных упругих и демпфирующих элементов. Через обозначены матрицы соответственно инерционных, квазиупругих коэффициентов и коэффициентов демпфирования, а через вектор обобщенных возмущающих сил, действующих на колебательную систему при вращении ротора-возбудигеля.

Предполагаем движение системы представимым в виде

где медленно изменяющаяся угловая скорость ротора; и — быстро изменяющиеся функции, - периодические по быстрому времени К медленным относятся моменты все прочие силы и моменты можно отнести к быстрым.

Уравнение медленного движения в данном случае первого порядка, хотя исходная система имеет порядок где k — число степеней свободы колебательной части системы. Таким образом, метод прямою разделения движений позволил снизить размерность на единиц; последнее объясняется тем, что колебательные координаты системы не содержат медленных составляющих.

Вибрационный момент равен среднему за период значению момента вычисленному в предположении, что вращение ротора происходит с постоянной угловой скоростью, а колебательная часть системы соьершает установившиеся колебания под действием возмущающих сил, развиваемых ротором.

Наличием вибрационного момента в уравнении для и объясняются своеобразные нелинейные эффекты, характерные для рассматриваемой системы (см. гл. VII). Отметим, что момент обычно резко возрастает при значениях лежащих вблизи частот свободных колебаний системы. Это следует, например, из конкретной формулп для соответствующей случаю, когда колебательная часть системы имеет всего одну степень свободы (см. п. 4 таблицы).

Самосинхронизация механических вибровозбудителей.

Задача о самосинхронизации механических вибровозбудителей (вибраторов), представляющих собой неуравновешенные роторы, приводимые от двигателей асинхронного типа, подробно рассматривается в Эту задачу также можно эффективно решить с помощью изложенного подхода, что впервые предложил К. М. Рагульскис [32], который, однако, не использовал понятие о вибрационных моментах; ииже приведены результаты в виде, полученном в работе [4].

Схема системы и общая форма уравнений движения представлены в п. 5 таблицы; отличие от системы, показанной в п. 3, состоит в том, что число неуравновешенных роторов произвольно; таким образом, задачу п. 3 можно рассматривать как вырожденный частный случай задачи о самосинхронизации, соответствующий Обозначения в уравнениях движения те же, что в п. 3.

Рассмотрим движения вида (случай простой синхронизации, когда средние угловые скорости роторов одинаковы)

где медленная, быстрые -периодические по составляющие. Величину синхронной скорости заранее неизвестной, можно в данном случае считать постоянной, полагая, что медленные изменения угловых скоростей учитываются производными Будем считать, что Разделение сил на быстрые и медленные аналогично разделению в задаче п. 3 таблицы.

Уравнения (4), (5) запишем в форме

Имеются основания (на изложении которых здесь не останавливаемся), чтобы при решении уравнений (1), описывающих медленные движения, в первом приближении принять Тогда, учитывая, что и линеаризуя выражения для моментов согласно формулам (67) п. 5 гл. VIII, придем к выражениям для вибрационных моментов и к уравнениям медленного движения, представленным в п. 5 таблицы. Заметим, что выражения для получаются в результате усреднения моментов в уравнениях движения роторов, вычисленных в предположении, что роторы вращаются равномерно по закону где а тела совершают установившиеся колебания под действием вынуждающих сил, развиваемых роторами.

Размерность системы уравнений медленных движений в данном случае на единиц меньше размерности исходной системы число степеней свободы колебательной части системы).

Найденные выражения для вибрационных моментов в точности совпадают с полученными более сложным путем с помощью метода Пуанкаре (см. т. 4). Следовательно, совпадут и все другие результаты. Вместе с тем полученные уравнения медленных движений описывают также движения в окрестности установившихся синхронных режимов Заметим, что наличие моментов в указанных уравнениях позволяет просто объяснить закономерности самосинхронизации неуравновешенных роторов (см. гл. VIII и Поскольку каждый из моментов зависит от всех переменных то посредством этих моментов и устанавливается вибрационная связь между возбудителями, приводящая к их самосинхронизации.

Увод оси гироскопа под действием вибрации.

Как показано А. Ю. Ишлинскнм, вибрация основания гироскопа может при наличии упругой податливости элементов подвеса и некоторых других неидеальностей привести к весьма нежелательному отклонению его оси от фиксируемого направления [17]. Воспроизведем выкладки А. Ю. Ишлинского как пример возможности весьма простого подхода к вычислению вибрационного момента. Пусть прямоугольная система координат, связанная с внешним кольцом 1 подвеса гироскопа (см. рис. а в п. 6 таблицы), причем ось направлена по оси кольца, ось по оси поворота кожуха 2; вибрация основания такова, что при абсолютной жесткости подвеса его геометрический центр совершает прямолинейные гармонические колебания с частотой Тогда возникает сила инерции в переносном движении, проекции которой на оси координат где масса ротора гироскопа; и с — амплитуды составляющих вибрации по осям координат. Вследствие упругой податливости конструкции сила вызывает колебания центра тяжести ротора вдоль геометрической оси кожуха у по закону

представляющему собой решение дифференциального уравнения

где — жесткость (силы сопротивления колебаниям не учитываются). При перемещении центра тяжести ротора по закону (17) возникает момент от составляющей силы инерции (см. рис. б в п. 6 таблицы), ось которого направлена по оси х,

Среднее за период значение этого момента

Поэтому, как известно из теории гироскопов, возникнет прецессия гироскопа вокруг вертикальной оси со средней угловой скоростью

где собственный кинетический момент гироскопа. Из последней формулы следует, что при направление прецессии противоположно тому, которое имеет место при этот результат соответствует экспериментальным данным.

А. Ю. Ишлинским и его последователями изучен также ряд других эффектов, связанных с действием вибрации на гироскопические устройства [18], в том числе эффекты, которые могут быть отнесены к явлениям вибрационного перемещения (см. п. 5).