О применимости метода малого параметра к системам, не содержащим физического малого параметра.

Метод малого параметра можно эффективно применять не только для изучения систем, в которых физический малый параметр присутствует в явной форме, но и в случаях, когда исходя из каких-либо соображений можно допустить, что разыскиваемое движение мало отличается от движения некоторого определенного вида, например от гармонических колебаний, равномерного вращения и т. п., а также когда определенные совокупности членов в уравнениях малы вблизи рассматриваемых решений, несмотря на то, что каждый из этих членов в отдельности не мал. Иными словами, успех использования метода определяется не столько наличием в уравнениях явно входящего малого параметра, сколько близостью порождающего и точного решений, т. е., как и во многих приближенных методах, успех зависит от удачности выбора исходного приближения.

Можно предложить следующую схему искусственного введения малого параметра [7, 8, 10]. Пусть из каких-либо физических соображений, анализа частных случаев и т. п. можно предположить, что периодические решения заданной системы уравнений записанной в векторной форме, близки к функциям некоторого определенного вида где произвольные параметры. Пусть уравнение, которому удовлетворяют функции записав исходную систему в виде где можно считать выражение малым, поскольку, по предположению, решения системы для близки к решениям исходной системы. Функции должны быть близки на искомых траекториях системы (см. п. 3 гл. VIII и пример на с. 63).

Изложенный способ не может претендовать на строгость; он представляет собой типичное рациональное построение. Но практическое применение метода малого параметра в целом также представляет собой лишь комплекс рациональных рассуждений и выкладок, поэтому и указанное рассуждение можно считать правомерным.

Отметим, что метод малого параметра представляет своеобразный признак правильности сделанного предположения о близости решений исходной и порождающей систем; уравнения типа (50) или (59) для определения параметров обычно допускают простую физическую трактовку (например, представляют собой некоторые энергетические соотношения).

Примеры 1. Простейшая автоколебательная система. Пусть в уравнении такое уравнение называют уравнением Рэлея, оно описывает, в частности,

автоколебания в механической системе с одной степенью свободы при малом сопротивлении, зависящем от скорости. Уравнение (64) для определения параметра а, порождающего решения в данном случае будет иметь вид

Отсюда находим (второе нетривиальное решение несущественно отличается от первого, так как изменение знака порождающего решения происходит пои замене на . Условие устойчивости всегда выполняется, т. е. автоколебания устойчивы.

2. Вырожденная квазилинейная неавтономная система с одной степенью свободы (вибрационное поддержание вращения физического маятника). Уравнение движении маятника, горизонтальная ось которого совершает вертикальные колебания с частотой и амплитудой имеет вид

где угол поворота маятника, отсчитываемый от вертикали; соответственно масса, момент инерции и длина маятника; коэффициент вязкого сопротивления; ускорение свободного падения.

Изучим условия, при которых приведенное уравнение допускает устойчивое решение вида отвечающее стационарному вращению маятника со средней угловой скоростью а. После перехода к переменной задача сводится к изучению периодических решений уравнения

где

причем малый параметр введен исходя из предположения о близости изучаемого движения к равномерному вращению со скоростью а. Переходя к переменным запишем уравнение (66) в виде системы для которой порождающая система допускает семейство периодических решений зависящее от одного произвольного параметра (постоянную можно рассматривать как периодическую функцию любого периода). Система уравнений в вариациях совпадает с порождающей системой; ее характеристическое уравнение имеет корни согласно (48) она имеет периодическое решение а другое линейио-незавнсимое решение является затухающим. Периодическим решением сопряженной системы, удовлетворяющим условию (53), является Поэтому уравнение (50) сводится к условию

При выполнении неравенства

это уравнение имеет два решения первое из которых отвечает устойчивому, а второе неустойчивому движениям, поскольку согласно уравнению Условие вибрационного поддержания вращення маятника (68) получено иным способом Н. Н. Боголюбовым и затем обобщено различными авторами на более сложные случаи (см. п. 5 гл. VIII). Заметим, что уравнение (67) представляет собой условие обращения в нуль среднего за период значения функции при т. е. вытекает непосредственно из условия существования периодического первого приближения к решению уравнения (66).