Синхронизация квазилинейных осцилляторов типа маятниковых часов

Рассмотрим задачу о взаимной синхронизации некоторого числа маятниковых часов, висящих на упруго опертой жесткой платформе, которая может совершать плоско-параллельное движение перпендикулярно осям маятников (рис. 4). Пусть система неподвижных прямоугольных осей координат, с которой в положении статического равновесия системы совпадают оси жестко связанные с платформой. Начало подвижных координат будем считать выбранным в так называемом центре тяжести вспомогательного тела, т. е. платформы, к которой присоединены массы всех маятников, сосредоточенные на их осях О. Считаем ось иаклоиеииой к горизонту под некоторым углом система упругих опор, связывающая платформу с неподвижным основанием, предполагается симметричной по отношению к осям в том смысле, что выражение для потенциальной энергии деформации опор, отсчитываемой из положения статического равновесия, имеет вид

где х и у — координаты центра тяжести вспомогательного тела в неподвижных осях; угол поворота платформы, отсчитываемый между осями по хойу часовой стрелки, соответствующие жесткости.

Положения маятников характеризуются углами которые отсчитываются

от вертикали по ходу часовой стрелки, и, так же как и координаты платформы считаются малыми.

Уравнения движения системы могут быть записаны в виде

где — соответственно масса и момент инерции маятника относительно осн расстояние от оси маятника до его центра тяжести; полярные координаты оси маятника (за полярную ось принята ось связанная с платформой): ускорение свободного падения; соответственно движущий момент и момент сил сопротивления; — соответственно масса и момент инерции вспомогательного тела; коэффициенты вязкого сопротивления.

Уравнения (50) можно представить в следующей безразмерной форме;

где

Величина рассматривается как малый параметр; штрихом обозначено дифференцирование по безразмерному времени а «избыточный момент» принят в виде

что соответствует идеализации часов в виде простейших автоколебательных объектов осцилляторов Ван-дер-Поля Через А обозначена произвольная величина, имеющая размерность длины; при анализе порядков величин удобно считать, что А имеет порядок амплитуды

колебаний платформы Через обозначены частоты малых свободных колебаний маятников, причем положено где — одно из чисел со или среднее от чисел

Рассмотрим нерезонансиый случай, когда величины и отличаются от целых чисел и от нуля.

Уравнения для определения параметров порождающего решения

имеют вид

где

Не нарушая общности, постоянные а можио считать попарно комплексно-сопряженными, т. е. положить

При этом, поскольку рассматриваем задачу о внутренней синхронизации, можно принять

С учетом соотношений (57), (58) из уравнения (55) получаем

Поэтому и для определения 24—1 комплексных постоянных которые согласно (57) можно заменить вещественными постоянными Достаточно Рассмотреть уравнений, полученных приравниванием иулю вещественных и мнимых частей в левых частях первых уравнений (55) Последнее уравнение как выполняющееся тождественно в силу установленного выше равенства исключается.

Для возможности синхронных колебаний рассматриваемого типа необходимо, чтобы полученные уравнений допускали решения, вещественные относительно и положительные относительно Основные условия устойчивости синхронных движений, соответствующих каждому такому решению, состоят в требовании отрицательности вещественных частей корней и алгебраического уравнения степени

Дополнительные условия устойчивости сводятся к неравенствам

Предполагается, что X отличны от целых чисел с половиной.

Заметим, что изложенные результаты в данном случае также могут быть сформулированы с помощью интегрального критерия устойчивости [10, 28]

Пусть параметры всех часов с точностью до величин более высокого порядка, чем одинаковы. Тогда , и после введения обозначений

н перехода от неизвестных к и основные уравнения (55) запишутся согласно в форме

Рассмотрим два случая осеснмметричного расположения осей маятников на платформе: 1) оси равномерно размещены по окружности, центр которой совпадает с центром тяжести вспомогательного тела; оси расположены на одной прямой, проходящей через центр тяжести вспомогательного тела, симметрично относительно этого центра. В обоих случаях выполняются условия

и уравнения (61) допускают решение вида

соответствующее колебаниям всех маятников с одинаковыми амплитудами и фазами; при этом амплитуды оказываются равными их значениям для несвязанных маятников. Однако уравнения (61) при условиях (62) могут иметь, вообще говоря, и иные решения Рассмотрим более подробно случай двух маятников Тогда уравнения (61) допускают два решения

отвечающие соответственно синфазным и противофазным движениям маятников. Составив уравнение (59), найдем, что его корни

одинаковы для обоих решений (64) и имеют отрицательные вещественные части, если только что обычно и предполагается. Для решений (64) дополнительные условия (60) тоже сводятся к тривиальным условиям

Таким образом, в рассматриваемом случае устойчивы, независимо от соотношения между частотой колебаний маятников и частотами свободных колебаний платформы, как синфазное, так и противофазное движения маятников. Этот результат сохраняется и при изменении числа степеней свободы платформы, когда одна или две из величин и к неограниченно возрастают Совершенно иная ситуация имеет место в случае вращающихся роторов, для которых характер синхронного движения существенно зависит от частот свободных колебаний несущей системы