11. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА СВЕДЕНИИ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
В ряде случаев решение того или иного дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений целесообразно сводить к решению интегрального уравнения или системы интегральных уравнений.
Примеры сведения к интегральным уравнениям Водьтерра и Фредгольма.
Известна эквивалентность решения задачи Коши, описываемой дифференциальным уравнением
с начальным условием 
и решения интегрального уравнения
Легко показать, что линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
с начальными условиями 
сводится к интегральному
уравнению
В общем случае системы уравнений с выделенной линейной частью
где 
квадратная матрица порядка 
-мерный вектор, 
вектор-функции той же размерности, с начальными условиями 
эквивалентное интегральное уравнение в векторной форме имеет вид
В последнем уравнении
где 
матрица фундаментальной системы решений соответствующей линейной однородной системы уравнений
Все приведенные выше интегральные уравнения есть нелинейные уравнения типа Вольтерра и для их решения применимы обычные итерационные и численные методы.
Некоторые задачи, связанные с исследованием колебательных процессов, сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма. Например, вынужденные гармонические
колебания струны под действием внешней силы представляются соотношением [25]
где 
— фиксированная частота; 
амплитуда, определяемая из интегрального уравнения Фредгольма второго рода
Здесь 
плотность струны; I — длина струны;
натяжение струны; 
известная функция, определяемая заданной внешней распределенной силой (нагрузкой).
В случае свободных гармонических колебаний струны фиксированной частоты 
амплитуда 
будет определяться из уравнения вида (170) при 
т. е. из однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Задача отыскания колебательных решений обыкновенных дифференциальных уравнений часто может быть сведена к задач? отыскания решений определенного вида интегральных уравнений типа Фредгольма. Общий прием сведения дифференциальных уравнений к интегральным уравнениям типа Фредгольма основан на использовании функции Грина.
