7. РАЗРЫВНЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ

С физической точки зрения задача о разрывных (релаксационных) автоколебаниях тесно связана с проблемой влияния малых («паразитных») параметров, не учитываемых при построении приближенной модели процесса. С математической точки зрения эта задача связана с теорией дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр при старшей производной [6, 9, 10, 18, 19]. Если движение системы описывается уравнениями

где малый параметр, то движения изображающих точек в фазовом пространстве могут быть разделены на быстрые и медленные Уравнения, удобные для изучения быстрых движений, получаются из (53) после перехода к «быстрому времени» и имеют вид

Для качественного описания быстрых движений на фазовой плоскости х, у достаточно представить поведение изоклины вертикальных касательных Пусть для конкретности рассуждений кривая ведет себя так, как это представлено на рис. 20. В соответствии с (53), (54) траектории движения изображающих точек, расположенные вне малой окрестности кривой почти горизонтальны [6, 18] Предельное положение таких траекторий при описывается системой уравнений

получающейся из (54) при Согласно (53) изображающие точки движения на быстрых траекториях имеют скорость порядка и в пределе при совершают мгновенный скачок. Направление движения на этих траекториях в соответствии с (55) определяется знаком функции Если картина поведения изоклины вертикальных касательных такая же, как на рис. 20, то изображающие точки движения, расположенные над кривой совершают скачок вправо, и расположенные под кривой — влево.

Рис. 20

При малых медленные движения изображающих точек возможны только в малой окрестности кривой Причем устойчивыми по быстрым движениям частями кривой являются только те, на которых Поэтому если изоклина горизонтальных касательных пересекается только с неустойчивыми по быстрым движениям частями изоклины вертикальных касательных, то движения изображающих точек, охватывающие ограниченные участки кривой могут быть только вращательного типа Поскольку на плоскости х, у фазовые траектории не пересекаются, то такие вращательные движения являются предельными циклами [9]. Для того чтобы определить, сколько предельных циклов может быть на плоскости х, у и какова их устойчивость, рассмотрим величину

где с — произвольный простой контур, близкий к контуру (см. рис. 20). Нетрудно убедиться [9], что так как основное время при движении изображающей точки затрачивается на пребывание в окрестности участков кривой то при имеем Но это означает, что в системе (53) в случае поведения изоклин, представленном на рис 20, существует единственный устойчивый предельный цикл, состоящий из участков медленных и быстрых движений. При такой предельный цикл соответствует разрывным автоколебаниям.

Простейшим примером разрывных механических автоколебаний [10], иллюстрирующим приведенные выше рассуждения, может служить тормозное устройство (рис 21).

Обозначив через угол поворота тормозной колодки относительно нейтрального положения пружин, момент инерции колодки, с — коэффициент упругости системы, угловую скорость вала, функцию, выражающую зависимость момента силы сухого трения от относительной скорости имеющую падающие участки характеристики (рис. 22), получим следующее уравнение движения устройства:

Запишем (57) в виде системы двух уравнений

Предположим теперь, что тормозная колодка имеет малый момент инерции, т. е. пропорционально малому параметру

В этом случае, пользуясь приведенной методикой, нетрудно на фазовой плоскости представить качественно ход траекторий так, как это показано на рис. 23.

Так как на кривой медленных движений, получающейся из (58) при направление движения изображающих точек определяется уравнением то очевидно что на плоскости имеется единственный устойчивый разрывный предельный цикл описывающий разрывное автоколебательное движение колодки. Участок автоколебательного движения соответствует равномерному вращению колодки. При повороте колодки возрастает момент сил упругости пружин. Когда момент упругой силы становится равным максимальному моменту силы трения колодки о вал (в точке d на рис. 23). происходит скачкообразное изменение скорости колодки при неизменном растяжении пружин и т. д.

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23

Для получения количественного представления о периоде разрывных автоколебаний колодки необходимо проинтегрировать уравнения (58) движения изображающих точек на участках медленных движений. Тогда получим

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)