Глава IV. ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Определение термина диссипатиеная система см. в гл. 1. О вынужденных колебаниях диссипативных систем см. в гл. Ниже приведены сведения, относящиеся к свободным затухающим колебаниям диссипативных систем с одной степенью свободы, когда нелинейность обусловлена только силами сопротивления. Предполагаем, что силы сопротивления обладают отрицательной мощностью, т. е. где уравнение характеристики силы сопротивления равно взятой с противоположным знаком обобщенной силе сопротивления). В пп. 1—4 рассмотрены случаи, когда силы сопротивления определяются только скоростями системы, а в случаи, когда силы сопротивления зависят также от координат системы (позиционное трение, внутреннее трение).

При значительном сопротивлении, когда изменение полуразмаха за один цикл колебаний соизмеримо с самим полуразмахом, анализ движения удобно вести с помощью фазовой диаграммы. Для графоаналитического построения фазовых диаграмм особенно удобен метод Льенара (см. п. 2 гл. II), а также способ Шефера [1].

После построения фазовой траектории длительность цикла колебаний определяется выражением

в котором - три последовательных полуразмаха, причем (рис. 1).

Рис. 1

Приближенно

где наибольшие по абсолютной величине значения скорости в первой и второй половине рассматриваемого цикла.

При относительно малых силах сопротивления и медленном затухании колебаний, когда изменение полуразмаха за один цикл колебаний мало по сравнению с самим полуразмахом колебательный процесс можно приближенно описыгать выражением

в котором убывающая функция соответствует кривой, проходящей через точки максимумов функции (эту кривую часто называют огибающей, хотя в математике данный термин понимается в ином смысле); собственная частота консервативной системы; с — коэффициент жесткости; а — инерционный коэффициент.

Отношение двух последовательных положительных полуразмахов называют декрементом колебаний, а логарифм этого отношения

— логарифмическим декрементом. Как правило, логарифмический декремент зависит от полуразмахов и поэтому изменяется в пооцессе свободных затухающих

колебаний; исключением является только случай линейного сопротивления, когда уравнение огибающей — показательная функция.

По неизменности экспериментально полученных отношений можно судить, насколько действующие в системе силы сопротивления допустимо считать линейными Если отношения изменяются от цикла к циклу, то силы сопротивления нельзя считать линейными. Дальнейшая обработка экспериментальных результатов позволяет подобрать подходящее аналитическое выражение для силовой характеристики, например в виде одночленной зависимости

или в виде полинома

где постоянные (см. п. 4).

Иногда (в частности, при анализе вынужденных колебаний) удобно заменить нелинейную характеристику сопротивления эквивалентной линейной Коэффициент зависит от полуразмахов колебаний и может быть определен из условия энергетической эквивалентности

(значения для некоторых частных случаев приведены в табл. 1).

Таблица 1 (см. скан)