3. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Периодические (либрационные или ротационные) движения консервативных систем характеризуются видом зависимости постоянной энергии от частоты определяющей так называемую летную кривую Скелетная кривая может быть задана неявно или параметрически в виде

В качестве параметра можно выбрать как действие так и любой другой параметр, связанный с ним и имеющий физический смысл, например, полуразмах («амплитуду») вибраций

Консервативную систему называют изохронной, если частота не зависит от определяемой начальными условиями постоянной энергии (и связанной с ней амплитудой колебаний). Изохронные системы характеризуются пропорциональностью между энергией и действием [см. (12)]:

В частности, изохронными являются малые либрации вблизи положения устойчивого равновесия, когда

Изохронизм присущ не только линейным консервативным системам. В принципе всегда зависимость заданная при положительных q, может быть достроена в области так, чтобы результирующие колеба были изохронными. Пример нелинейного изохрошого объекта—осциллятор с ломаной характеристикой, уравнение колебаний которого имеет вид

В общее решение уравнения (18) лнбрационного типа входит постоянная частота, не зависящая от величины постоянной

Как правило, консервативные нелинейные системы анизохронны, т. е. частота изменяется с изменением энергии. Анизохронные объекты удобно классифицировать в зависимости от типа скелетной кривой, основной характеристикой которой является коэффициент крутизны

Поскольку полуразмах колебаний А есть монотонно возрастающая функция энергии, то знак производной совпадает со знаком коэффициента крутизны. Если в некотором диапазоне изменения постоянной энергии коэффициент крутизны скелетной кривой положителен (отрицателен) и, следовательно, с ростом частоты энергия увеличивается (уменьшается), то в этом диапазоне рассматриваемый консервативный объект называют жестко (мягко) анизохрониым, а его скелетную кривую — жесткой (мягкой). В различных диапазонах изменения энергии одна и та же консервативная система может быть мягко или жестко анизохронной и даже изохронной.

Приближение фазовой траектории к сепаратрисам связано с постепенным уменьшением частоты периодического движения. Если такое приближение характеризуется увеличением (уменьшением) энергии, то соответствующая окрестность сепаратрисы есть область мягкого (жесткого) анизохроннзма.

Переход через сепаратрису, связанный с прохождением частоты через нуль, всегда характеризуется сменой типа анизохронизма, которая может произойти и при других «не сепаратрисных» значениях постоянных энергии. В окрестностях этих значений система ведет себя приблизительно как изохронная.

Изложенное выше справедливо для широкого класса консервативных систем с одной степенью свободы, для которых производные кусочно-непрерывные функции допускающие конечные разрывы первого рода. Кроме того, на концах интервала допустимых значений (если он конечен) эти производные могут обращаться в беконечность. Описанные качественные особенности движения справедливы и для консервативных виброударных систем (см. гл. XII), которые характеризуются тем, что при достижении координатой некоторого вполне определенного значения обобщенная скорость мгновенно меняет знак. Периодические движения таких систем можно построить в результате интегрирования уравнения (3) внутри интервалов непрерывности с последующим сопряжением полученных решений при учете условий удара и периодичности.

Для консервативных ударно-колебательных систем справедлив интеграл энергии (2), сохраняется смысл действия [первая часть формулы (11)], фазы (7) и частоты (12) движения. Вместе с тем существенно меняется формула для определения периода. Для существования периодических либрации оказывается необязательным существование экстремумов потенциальной энергии