9. МЕДЛЕННЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ В ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

При высокой частоте сети или большой механической инерционности амплитуды механических колебаний, имеющие частоту сети или кратную ей, будут малыми. Но механическое движение в этом случае не обязательно сводится только к малым вибрациям, а может содержать накладывающуюся на них медленную составляющую большого «размаха». Такие движения представляют интерес для теории магнитных подвесов и подшипников, ориентирования деталей переменным во времени магнитным полем и т. д.

Величину где — соответственно характерные значения переменных составляющих пондеромоторных сил, инерционных коэффициентов, координат и частоты, можно принять за квадрат малого параметра. Если перейти к безразмерным переменным, то получим систему, содержащую явно. Но удобнее рассматривать исходные размерные уравнения, подставив условно множитель перед членами, которым соответствуют малые члены безразмерных уравнений, а в окончательных выражениях положить Уравнения движения удобнее записывать в форме Гамильтона. При замкнутых токах проводимости получается система

где обобщенные импульсы; компоненты матрицы, обратной Рассматриваемые движения возможны, если обобщенные механические силы порядка 8 или выше. Поэтому обобщенные силы (потенциальные и непотенциальные вместе) обозначены через Малыми должны быть также начальные значения импульсов. Функции предполагаются периодическими или квазипериодическими, т. е. представляющимися конечной суммой гармоник с несоизмеримыми частотами.

Наличие в (56) малого параметра позволяет составить уравнения, описывающие только медленное изменение механических координат, что упрощает задачу. При этом можно использовать метод В. М. Волосова, согласно которому искомые перемещения ищутся в виде асимптотических рядов

так, чтобы новые медленные переменные удовлетворяли уравнениям, не содержащим быстрых переменных . В (57) означают всю совокупность переменных Можно также использовать метод, разработанный Н. А. Реймерсом и К. Ш. Ходжаевым. Согласно этому методу быстрые переменные выражаются через новые медленные и время:

Вычисления по второму методу несколько проще, но в отличие от общего метода В. М. Волосова он пригоден только для квазилинейных систем, к числу которых относится (56). Оба метода приводят к уравнениям медленных движений

здесь периодические или квазипериодические решения уравнений

При решении уравнений (60) считается Средние значения определяются соотношениями вида

Обобщенные силы в (59) должны быть записаны как функции .

Интерес представляет случай движения твердого проводящего тела в заданном внешнем магнитном поле. При этом ток в контуре, создающем внешнее поле; коэффициент взаимной индукции между условным контуром в теле и контуром заданного тока [10]; не зависит от обобщенных координат. Уравнения (59) принимают вид

где — энергия поля токов Фуко, вычисленная в порождающем приближении:

формальная (так как она может описывать и «раскачивающие» силы) диссипативная функция:

Это означает, что в первом приближении средние силы, действующие на тело со стороны поля, имеют потенциал, которым является среднее значение энергии поля токов Фуко. Во втором приближении добавляются силы, имеющие диссипативную функцию (доказательство см. в работе [3]).

В наиболее важном случае, когда суть суммы потенциальных и диссипативных сил, члены в (59) или (62) следует учитывать только при условии, что диссипативная «часть» в порядка При этом члены второго порядка в (59) или (62) нужны для исследования характера движений.

Пример. Вращение жесткого контура в однородном поле. Пусть контур может вращаться только относительно осн, перпендикулярной В. Тогда где — угол между нормалью к плоскости контура и положительным направлением В. При уравнение медленного вращения, получающееся из (59), имеет вид

где - момент инерции; соответственно индуктивность и сопротивление контура. Пусть Тогда устойчивы положения равновесия

В теории электрических машин предположение о малости соответствует предположению о том, что момент инерции ротора достаточно велик. Динамика синхронной машины в этом случае исследована в работе [13].

Разделение быстрых и медленных процессов возможно также в случае, когда две катушки индуктивности установлены, например, на общем сердечнике так, что их витки пронизываются «почти» одним и тем же иотоком, Тогда «электрические» уравнения могут быгь приведены к виду

где члены, содержащие малый параметр описывают потоки рассеяния.

Если умножить второе уравнение на и вычесть его из первого, то получим уравнение с множителем при производных. К получившейся системе можно применить указанные выше асимптотические методы. Для электрических машин таким путем получаются [4] уравнения медленных нестационарных процессов, более простые, чем исходные уравнения Парка — Горева.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)