Методы исследования колебаний.

Проблемы исследования колебаний под действием случайных сил (проблемы случайных колебаний) довольно сложны и недостаточно еще изучены Изложим ниже некоторые из наиболее разработанных и практически эффективных методов расчета случайных колебаний [62—64]

Метод уравнений Колмогорова — Фоккера — Плаика. Разработка эффективных методов определения статистических характеристик случайных процессов в нелинейных системах — актуальная проблема. Будем рассматривать систему уравнений

где неслучайные функции; независимые случайные процессы типа белого шума, т. е. при

Так как случайный процесс, то уравнение (208) следует понимать как стохастическое уравнение в дифференциальной форме

или в интегральной форма

здесь независимые одномерные винеровские процессы, а второй из интегралов — стохастический интеграл Решения таких уравнений являются -мерным марковским процессом и при дополнительных условиях на гладкость функций существует переходная плотность которая удовлетворяет уравнению Колмогорова по переменным

и уравнению Колмогорова-Фоккера-Планка по переменным у

Поскольку переходная плотность, то

При исследовании случайных колебаний представляет особый интерес случай таких систем, для которых стремится со временем к стационарной совместной плотности распределения вероятности, не зависящей от времени и начальных условий.

В этом случае Для решения уравнений Колмогорова-Фоккера-Планка можно использовать общие методы теории дифференциальных уравнений в частных производных параболическою типа.

Рассмотрим, например, движение нелинейной колебательной системы с одной степенью свободы, описываемое дифференциальным уравнением

где коэффициент линейного демпфирования; нелинейная восстанавливающая сила; процесс белого шума, имеющий интенсивность

Это уравнение следует понимать как систему стохастических уравнений

где винеровский процесс.

В этом случае закон изменения стационарной совместной плотности распределения опис ывается линейным дифференциальным уравнением в частных производных вида

Единственным решением уравнения (209) является выражение

о коюром постоянная интегрирование С определяется из условия нормирования

После того, как получена совместная плотность вероятности (210), легко тлить различные характеристики колебательного процесса системы. Например, среднее квадратическое значение

Метод возмущений. В колебательных системах нелинейность встречается обычно в упругих и демпфирующих элементах (см гл I) Рассмотрим движение системы с одной степенью свободы, описываемое дифференциальным уравнением

где коэффициент линейного демпфирования; нелинейная функция; постоянная; -малый постоянный параметр; — случайный процесс. Основная идея метода возмущений состоит в отыскании решения уравнения (211) в виде ряда по степеням малого параметра

Предполагая, что решение (212) удовлетворяет уравнению (211) тождественно по и поэтому коэффициент при каждой степени должен обратиться в нуль, получаем следующую систему линейных уравнений:

Решения уравнений (213) можно представить в виде

где

Полученное решение (212) можно использовать для определения моментных характеристик движения нелинейной сиаемы (211):

В большинстве случаег определяют только члены нулевого и первого приближения. Практически математические ожидания в правых частях (214) вычисляются для специальных классов случайных возмущений и некоторых нелинейных функций