7. СТРОБОСКОПИЧЕСКИЙ МЕТОД
Стробоскопический метод, предложенный Н. Минорским (81], основаи на идеях, близких как к идеям асимптотических методов и методов разделения движений, так и метода точечных отображений [12]. Эти идеи состоят в следующем. Пусть изучается колебательный процесс, близкий к периодическому процессу, имеющему некоторый, быть может, заранее неизвестный период 
Будем наблюдать этот процесс в фазовом пространстве системы как бы в стробоскопическом освещении, т. е. в дискретные моменты времени, отстоящие на промежутки времени 
Если бы процесс был строго периодичен, то изображающая (фазовая) точка 
(назовем ее стробоскопической точкой) казалась бы неподвижной. Если же процесс, например, близок к асимптотически устойчивому периодическому, то мы увидим эту точку «медленно» перемещающейся по направлению к точке отвечающей строго периодическому процессу (рис. 23). Естественно ожидать, что если бы удалось получить уравнения, описывающие траекторию не самого изучаемого движения, а движения стробоскопической точки (стробоскопические уравнения), то эти уравнения, во-первых, оказались бы проще исходных и, во-вторых, позволили бы изучать характеристики движения, представляющие, как правило, основной интерес. Указанные стробоскопические уравнения действительно удается построить, по крайней мере в случаях, когда исходные дифференциальные уравнения близки к точно интегрируемым, в частности — к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами. Существенно, что при этом вместо неавтономной системы с 
-периодическими правыми частями получается автономная система.
Рис. 23
Рассмотрим систему
относительно которой будем предполагать, что она близка к линейной автономной, причем малый параметр 
характеризует степень этой близости, а 
есть 
-периодическпе функции 
Тогда посредством введения новых переменных
эту систему часто удается преобразовать к виду
где 
периодические функции 
с периодом 
При 
получаем движение изображающей точки 
постоянные, определяемые начальными условиями), отвечающее ее равномерному вращению по окружности радиуса 
При 
разыскивая решение в виде рядов по целым положительным степеням в, находим:
где
Отсюда
причем
Таким образом смещения стробоскопической точки за период 
Если ввести элемент «стробоскопического времени» 
то последним, в сущности, конечно-разностным уравнениям будут отвечать следующие стробоскопические дифференциальные уравнения
которые уже являются автономными Эти стробоскопические уравнения совпадают с уравнениями, получаемыми методом усреднения, заметим также, что рассмотрение точек, отстоящих на время 
по существу означает изучение соответствующего точечного отображения (см. пп 4 и 5).
Пример 1. Неавтономная система — уравнение Матье Произведя в уравнении Матье
замену 
приходим к уравнениям
Для этих уравнений
и соответствующие стробоскопические уравнения имеют вид
Пример 2. Автономная система — уравнение Ван дер Поля В случае уравнения Ван-дер Поля
путем той же замены приходим к системе
стробоскопическими уравнениями для которой будут
