Влияние внешних сил на нелинейные колебательные системы.

Рассмотрим коле бательную систему, находящуюся под воздействием внешних периодических сил, за висящих явно от времени Рассмотрим систему с одиой степенью свободы, описываемую дифференциальным уравнением

где малый положительный параметр; функция, периодическая по с периодом которую можно представить в виде

Будем предполагать, что коэффициенты в этой конечной сумме являются некоторыми полиномами аргументов

Уравнение (89) можно считать уравнением колебаний некоторой механической системы единичной массы с собственной частотой находящейся под воздействием малого нелинейного возмущения явно зависящего от времени

При отсутствии возмущения, при получаем чисто гармонические колебания где произвольные постоянные

Если для определения функций применять метод, изложенный выше для построения решения уравнения (69), то в разложении функции в ряд Фурье [после подстановки в нее появятся члены, содержащие где целые числа Таким образом, в правых частях уравнений, определяющих по явятся гармонические компоненты с комбинационными частотами вида Когда одна из таких комбинационных частот сделается близкой к собственной частоте то соответствующая гармоника возмущающей силы может оказать значительное влияние на характер колебаний, даже если в выражении приложенной возмущающей силы соответствующий коэффициент мал Чем меньше значение этого коэффициента, тем меньше должна быть расстройка между собственной и внешней частотами для того, чтобы это влияние было заметно Таким образом, в нелинейных колебательных системах резонансные явления возникают не только при как в обычных линейных системах, но и в случае, если одна из комбинационных частот внешнего воздействия близка к собственной частоте системы, если

Следовательно, в нелинейных системах резонанс может наступать при выполнении условия сока где целые взаимно простые числа (обычно небольшие).

Принята следующая классификация различных случаев резонанса

1) «главный», или основной резонанс, когда те

2) резонанс на обертоне собственной частоты, или параметрический резонанс, когда резонанс этого типа возможен в линейных системах с периодическими коэффициентами,

3) резонанс на обертоне внешней частоты, когда

При построении асимптотических решений для уравнений (89) следует рассматривать три случая нерезонансный, резонансный н общий случай, в котором исследуется как резонансная зона, так и подходы к ней Под резонансной зоной подразумеваем окрестность точного резонанса в которой уже проявляются резонансные явления — амплитуда колебаний возрастает

Нерезонансный случай. Будем предполагать, что ни одна из комбинационных частот не равна частоте При колебания будут чисто гармонические с постоянными амплитудой и фазой Влияние возмущающей силы выражается в том, что, во первых, в колебаниях могут появиться как обертоны, так и гармоники комбинационных частот различного порядка малости, и поэтому решение надо искать в виде

где периодические функции по обеим угловым переменным и с периодом Во-вторых, и амплитуда, и скорость вращения фазы не постоянны и должны определяться из дифференциальных уравнений

Правые части уравнений (91) не зависят от фазы, так как при отсутствии резонанса фаза собственных колебаний не сгязана с фазой внешних сил, и, следовательно, по следняя не оказывает влияния на амплитуду колебаний

Итак, задача построения асимптотических приближенных решений в нерезонансном случае сводится к определению функции, стоящих в правых частях разложения (90) и уравнений (91)

Вводя дополнительное условие — отсутствие резонансных членов в выражениях для функций членов, знаменатели которых могут обратиться в нуль, после ряда выкладок получим

где Из формулы второго приближения

где определяют по (92), следует, что влияние внешнего периодического воздействия в нерезонансном случае сказывается только во втором приближении, так как в решении появляются мялые гармоники с комбинационными частотами Рассмотрим формулу (93) в случае стационарных колебаний, при Тогда колеблющаяся величина х будет состоять из собственного колебания с частотой со вынужденного колебания с частотой и комбинационных колебаний с частотами

В частном случае, когда собственные колебания отсутствуют, когда формула (93) вырождается в следующую

т. е. в колебательной системе имеются лишь одни вынужденные колебания с частотами внешнего возбуждения которые называют гетеропериодичестми колебаниями

Если для рассматриваемой системы

где

то единственно возможным устойчивым стационарным режимом будет гетеропериодический

Условие затухания собственных колебаний (94) зависит от амплитуды внешней периодической силы В случае, если внешнее возмущение, правая часть уравнения (89) не зависит явно от времени, получаем обычное условие самовозбуждения

или соответственно условие затухания

где

От структуры нелинейной функции зависит, будут ли одновременно выполняться условия (94) и (95) При одновременном выполнении этих условий оказы вается, что система, являющаяся самовозбужденной при отсутствии внешнего периодического воздействия, геряет это свойство при его наличии В этом случае имеет место так называемое нерезонансное или асинхронное гашение колебаний

Пример. Рассмотрим обобщенное уравнение Ван дер Поля

где некоторый малый положительный параметр

Заменой где уравнение приводим к виду

В первом приближении получаем где — амплитуда которую следует определять из уравнения

Уравнение первого приближения показывает, что при система самовозбуждена и существует устойчивое стационарное колебание с амплитудой При амплитуда а с возрастанием времени стремится к нулю и, следовательно, в системе происходит асинхронное гашение

Во втором приближении получаем

где следует определять из системы уравнений второго приближения

Во втором приближении наряду с вынужденными колебаниями с частотами появились компоненты с кратными частотами и с комбинационными частотами что характерно только для нелинейных систем

В случае выполнения условия (94) в системе будет устойчив гетеропериодическнй режим тес течением времени установятся колебания, определяемые выражением

где

Резонансный случай. Предположим, что где некоторые взаимно простые числа.

При исследовании резонанса достаточно ограничиться рассмотрением только самой резонансной области. Поэтому положим где расстройка. Тогда исходное уравнение (89) запишем в виде

Расстройку из-за ее малости отнесем к возмущающей силе Решение ищем в виде ряда

где периодические функции с периодом по обеим угловым переменным — некоторые неизвестные функции времени, которые определяют из соответствующих дифференциальных уравнений. Для составления уравнений введем в рассмотрение кроме угловой переменной (полной фазы колебаний) разность фаз

Так как при резонансе может оказать существенное влияние на изменение амплитуды и частоты, то будем представлять производные — и как функции не только а, но и Поэтому, учитывая (96), для определения а и составим следующую систему:

Таким образом, нам нужно определить периодические функции с периодом по О и После ряда выкладок в первом приближении получим

где должны быть определены из системы уравнений

здесь

Общий случай. Рассмотрим теперь общий случай, когда требуется исследовать поведение колебательной системы как вблизи резонансной области, так и на подходах к ней из нерезонансной.

В этом случае уже нельзя считать, что расстройка мала, и поэтому приближенное решение следует искать непосредственно для уравнения (89). Кроме того, выражения для мгновенной амплитуды и частоты будут зависеть от угла сдвига фаз. Поэтому решение ищем в виде ряда

где определяют из системы уравнений

причем разность не обязательно мала.

Функции, стоящие в правых частях (99) и (100) находим по методике, приведенной выше. После ряда выкладок в первом приближении получаем

где и частные периодические решения системы

здесь

Анализ уравнений первого приближения. Рассмотрим Уравнения (101). Так как правые части этих уравнений зависят от а и от то проинтегрировать их в замкнутом виде в общем случае не удается

Качественный характер решений может быть исследован в общем случае с помощью теории Пуанкаре. Согласно основным результатам этой теории можно утверждать, что всякое решение уравнений (101) приближается с течением времени или к постоянным определяемым из уравнений

или к периодическим функциям.

Таким образом, получаем два основных типа стационарных колебаний колебания, соответствующие постоянному решению, или, как говорят, «точке покоя» Уравнений (101), и колебания, соответствующие периодическому решению.

Котебаиия, соответствующие постоянному решению, в первом приближении совершаются с частотой — находящейся в простом рациональном соотношении с частотой возбуждения Такой режим колебаний называют синхронным.

Для решения вопроса об устойчивости стационарного синхронного режима, определяемого стационарными значениями необходимо образовать уравнения в вариациях

из которых, после составления характеристического уравнения, находим условия устойчивости

Колебания, соответствующие периодическому решению уравнений (101), в первом приближении совершаются с двумя основными частотами — с частотой или и частотой биений Лео, где период данного периодического решения). Эти колебания называют асинхронными.