2. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ХАРАКТЕРИСТИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ТЕОРИИ СИНХРОНИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Задачи о синхронизации динамических объектов могут быть поставлены следующим образом [8, 10].

Рассмотрим некоторое число динамических объектов, связанных в единую систему (рис. 1). Пусть состояние объекта определяется -мерным вектором компоненты которого являются координатами объекта в фазовом пространстве системы. Состояние системы в целом определяется как совокупностью векторов так и -мерным вектором характеризующим состояние системы связи между объектами. Таким образом, фазовое пространство всей системы имеет измерении.

Рис. 1

Будем говорить, что система совершает синхронное движение, если ее фазовые координаты изменяются по закону

где — положительная постоянная; целые числа; целые положительные числа; периодические функции соответственно с периодами по (т. е. с общим периодом по ); числа и можно, не нарушая общности, считать взаимно простыми. Если какое-либо

число или равно нулю, то соответствующую координату или будем условно называть колебательной, а если пр или то вращательной. Иначе синхронными назовем такие движения системы, которым соответствуют колебательные или равномерные в среднем движения по каждой из фазовых координат с одинаковыми для всех координат или кратными частотами (средними угловыми или линейными скоростями).

Если все числа равны 0, +1 или —1, а все числа равны 1, то будем говорить о простых, а в противном случае о кратно-синхронных движениях. Соответственно будем различать задачи о простой по кратной синхронизации динамических обьектов Величину назовем синхронной скоростью (частотой)

Иногда говорят также о синхронизации на комбинационных частотах, имея в виду случаи, когда средние частоты (угловые скорости) движений объектов со связаны линейными однородными соотношениями с целочисленными коэффициентами (в небесной механике подобные соотношения называют резонансными, см также п. 3 гл. X). С формальной точки зрения между случаями соизмеримости частот (кратной синхронизацией) и наличием «резонансных» соотношений нет принципиального различия Следует, однако, иметь в виду, что обычно прикладной интерес представляет изучение случаев, когда целые числа а также упомянутые целочисленные коэффициенты, сравнительно невелики: большим значениям указанных величин отвечают малые области существования и устойчивости соответствующих синхронных режимов, При учете этого обстоятельства различение кратной синхронизации и синхронизации на комбинационных частотах может иметь смысл. Например, случай естественно рассматривать как синхронизацию при наличии комбинационного («резонансного») соотношения

Если система связанных объектов допускает хотя бы одно устойчивое синхронное движение то будем говорить, что объекты обнаруживают тенденцию к синхронизации, если при определенных условиях движение системы при неограниченно приближается к некоторому синхронному движению, то будем говорить, что объекты при указанных условиях синхронизируются.

Во многих случаях поведение динамических объектов и систем связи между ними удается адекватно описать с помощью дифференциальных уравнений, которые согласно структурной схеме (см рис 1) могут быть записаны в следующем виде:

где — соответственно и -мерные вектор-функции; некоторый параметр, называемый параметром связи Функции характеризующие связи между объектами, назовем функциями связей При объекты являются несвязанными Относительно гладкости функций и делаются общие предположения, обеспечивающие существование рассматриваемых ниже решений. Прикладной интерес представляют задачи о синхронизации слабо связанных объектов, когда параметр можно считать малым Это объясняется, с одной стороны, тем, что синхронизацию технически наиболее просто и экономично осуществлять посредством слабых связей, и, с другой стороны, тем, что при сильных связях между объектами вопрос о синхронизации обычно становится тривиальным.

Основной задачей теории синхронизации является установление условий существования и устойчивости решений уравнений (2), имеющих вид (1), т. е. решений, соответствующих синхронным движениям.

Помимо этой основной задачи часто представляет интерес также ешепне следующих задач.

а) реальное вычисление синхронной скорости (частоты) и, а также решений соответствующих устойчивым синхронным движениям; при этом в ряде случаев можно ограничиться определением средних за период значений функций т. е. величин

а также максимальных отклонений а от этих средних значении,

б) выбор системы связи, при котором обеспечивается существование и устойчивость синхронного движения (1) заданного вида, эту задачу можно назвать задачей синтеза, она является в известной степени обратной по отношению к основной.

Иногда представляет интерес решение задачи об определении в фазовом пространстве системы таких областей начальных значений ее координат (областей захвата), для которых с течением времени движение неограниченно приближается к определенному синхронному

Для возможности использования явлений синхронизации необходимо, чтобы время установления синхронного режима было не слишком велико, а основные характеристики синхронного движения обладали достаточной «стабильностью» по отношению к разного рода возмущениям и погрешностям изготовления системы. Поэтому существенное значение имеет оценка времени практического установления устойчивого синхронного режима при заданных начальных условиях, оценка чувствительности некоторых характеристик синхронного режима по отношению к изменениям параметров и системы связи, а также по отношению к постоянно действующим возмущениям.

Один из наиболее важных классов задач о синхронизации образуют задачи о синхронизации автоколебательных объектов, т. е. объектов (как правило, однотипных), каждый из которых, будучи изолированным от остальных при определенных условиях может совершать движения типа (1), характеризующиеся некоторой частотой (угловой скоростью) Величину называют парциальной частотой (парциальной скоростью) объекта. Задача о синхронизации заключается в установлении условий, при которых после объединения всех объектов в единую систему последние смогут совершать движения того же типа, но с одинаковой частотой (скоростью) со или же с частотами (скоростями)

В зависимости от характера постановки задачи о синхронизации автоколебательных объектов или систем, содержащих таковые, следует различать задачу о внутренней (взаимной, автономной) синхронизации и задачу о внешней (неавтономной) синхронизации.

В первом наиболее общем случае, к которому относится приведенная выше задача о синхронизации, все синхронизируемые объекты рассматривают как равноправные элементы единой автономной динамической системы; частота синхронного движения со устанавливается в результате взаимодействия всех элементов системы. Правые части уравнений (2) не содержат в явной форме времени а значение синхронной частоты заранее неизвестно и подлежит определению в процессе решения задачи.

Во втором случае предполагают, что один из синхронизируемых автоколебательных объектов является значительно более мощным по сравнению со всеми остальными, и поэтому его движение считают не зависящим от характера движения прочих элементов системы. Воздействие указанного объекта на остальные элементы системы и тем самым частоту (или угловую скорость) синхронного движения предполагают наперед заданными и неизменными. Исходная система (2) превращается в неавтономную, и ее порядок понижается.

Частным случаем задачи о внешней синхронизации является задача о захватывании, когда рассматривают синхронизацию под действием заданного внешнего периодического возмущения одного автоколебательного объекта.

В технике иногда различают самосинхронизацию и принудительную синхронизацию. В первом случае имеют в виду, что синхронизация и требуемые соотношения между фазами колебаний и вращений осуществляются естественным путем, т. е. под действием уже имеющихся в системе связей. Например, синхронизация генераторов электрических или механических колебаний (вибровозбудителей) часто

происходит за счет свойств самой системы генераторы — нагрузка. Во втором случае для получения эффекта синхронизации или требуемой физировки требуется введение дополнительных связей.

Для некоторых приложений может оказаться целесообразным расширение приведенного выше понятия о синхронизации, т. е. распространение его на движении более общего характера. Например, можно требовать, чтобы вид (1) имели лишь выражения по крайней мере для одной из координат каждого объекта Можно предполагать также, что функции являются почти периодическими. Наконец, можно исходить из значительно более общего определения синхронизации, понимая под таковой равенство некоторых функционалов от координат объектов (например, совпадение моментов времени), когда эти координаты обращаются в нуль, достигают экстремальных значений и Вместе с тем, как правило, ограничиваются изложенным выше мене общим определением синхронизации, когда за указанные функционалы принимают частоты (или средние скорости) изменения координат. Для ряда приложений представляет интерес задача о синхронизации в системах с распределенными параметрами. В этом случае в уравнениях типа (2) содержатся уравнения в частных производных.

Как правило, правые части уравнений (2) таковы, что после подстановки вместо их выражений (1), соответствующих синхронным движениям, эти правые части становятся периодическими функциями безразмерного времени с периодом В результате основная задача о синхронизации сводится к установлению условий существования и устойчивости периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих (в наиболее важном случае слабо связанных объектов) малый параметр Это обстоятельство позволяет использовать для решения задач о синхронизации эффективные методы малого параметра, изложенные в гл. II, в частности, методы Пуанкаре и Ляпунова. Дальнейшее изложение существенно опирается на материал п. 3 гл. II.

Соответствующая уравнениям (2) порождающая система

т. е. система, получающаяся из (2) при распадается на независимых подсистем (4), соответствующих движению изолированных объектов, и на уравнение (5), описывающее поведение системы связи. Если система (4) — (5) допускает синхронное (в частности, периодическое) решение то вследствие автономности каждой из подсистем (4) эта система допускает также семейство синхронных решений

зависящее от произвольных постоянных представляющих собой начальные фазы движения объектов. Таким образом, в теории синхронизации приходится рассматривать специальный в теории малого параметра Пуанкаре случай, когда порождающая система допускает семейство решений, зависящее по крайней мере от произвольных параметров. Как следует из результатов, приведенных в п. 3 гл. II, синхронные решения исходной системы (2), обращающиеся при в синхронные решения (6) порождающей системы (4) — (5), могут соответствовать лишь тем значениям постоянных которые удовлетворяют некоторой системе уравнений

где функции составляются по определенному правилу.

Вообще говоря, не всем решениям уравнений (7) будут соответствовать устойчивые синхронные движения. Согласно тем же результатам для достаточно широкого класса систем основную роль в отборе устойчивых решений играет требование, чтобы для определенного решения уравнений (7) все корни (за исключением, быть может, одного

нулевого корня) алгебраического уравнения степени

где символ Кронекера, имели отрицательные вещественные части. Для многих систем сформулированное требование является не только необходимым, но и достаточным условием устойчивости (при достаточно малых значениях

Условия наличия вещественных решений уравнений (7) относительно постоянных можно рассматривать как необходимые условия возможности синхронизации объектов. При решении большинства задач о синхронизации может оказаться вполне достаточным определение начальных фаз а в возможных устойчивых синхронных движениях объектов, т. е. полное определение устойчивых синхронных движений лишь в порождающем приближении.

Таким образом, функции и уравнения (7) играют важную роль; назовем указанные функции порождающими функциями, а уравнения (7) — основными уравнениями задачи о синхронизации слабо связанных объектов.

Результатам исследования синхронизации слабо связанных объектов удается придать более удобную форму, если справедлив так называемый интегральный критерий устойчивости (см. п. 3 гл. II, а также [7, 8, 10, 11, 17, 28—30, 32, 37]), т. е. если существует потенциальная функция такая, что ее производные по равны или линейным комбинациям — с положительной квадратичной формой, составленной из соответствующих коэффициентов.

Устойчивым синхронным движениям в этих случаях соответствуют минимумы функции определяемые на основе анализа членов не выше второго порядка в разложении функции вблизи стационарных точек (такие минимумы в п. 3 гл. II названы грубыми).

Выше мы несколько упростили ситуацию. Из опущенных деталей отметим лишь, что в автономном случае, т. е. в задаче о внутренней синхронизации, из уравнений (7) определяются не сами начальные фазы а лишь фазовые сдвиги но зато обычно находится также первое приближение к синхронной частоте; уравнение (8) должно иметь лишь корень с отрицательной вещественной частью, так как всегда присутствующий в этом случае нулевой корень не играет никакой роли. Кроме того, число произвольных постоянных в порождающем решении (6) может быть большим, чем число объектов поскольку появление таких постоянных не обязательно связано с возможностью произвольного выбора начала отсчета времени в движении каждого из изолированных автономных объектов. В этих, а также других более сложных случаях условия устойчивости, выражаемые с помощью уравнений типа (8) или через интегральный критерий устойчивости, являются не достаточными, а лишь необходимыми, но играющими все же основную роль при отборе устойчивых синхронных движений.

В пп. 3 и 4 приведены выражения для порождающих функций и потенциальной функции для некоторых основных изученных классов задач о синхронизации слабо связанных объектов. Существенно, что трудности, связанные с получением соответствующих явных выражений (см. п. 3), в таких задачах определяются не степенью сложности системы в целом, а лишь степенью сложности отдельных изолированных объектов и системы связи.