Метод В. Н. Челомея сведения колебательных систем со многими степенями свободы к системе с одной степенью свободы.

Изложим сущность метода в соответствии с математическим обоснованием и обозначениями, приведенными в работе Н. Н. Боголюбова [13].

Пусть дана система дифференциальных уравнений, описывающая параметрически возбуждаемую колебательную систему со многими степенями свободы,

в которой причем симметричные постоянные, соответствующие положительной квадратичной форме; периодические функции с периодом достаточно малые по абсолютной величине.

Требуется найти значения К, при которых система (133) имеет решение с периодом Путем введения новых переменных где нетривиальные решения алгебраической системы

обладающие свойством ортогональности, систему (133) можно представить в виде

Здесь — малый положительный параметр, а со — собственные частоты системы при предполагаемые различными.

Таким образом, вместо системы (133) можно рассматривать систему (135). Однако, как показано В. Н. Челомеем в 1944 г. система (135) при решении изучаемой задачи может быть заменена одним уравнением одна из частот

с помощью следующего формального приема.

Образуем лангранжиан для системы (135) (штрихом обозначено дифференцирование по

Предполагая, что все координаты системы совершают колебания с частотой , В. Н. Челомей заменяет на ацхг и получает

или, принимая во внимание уравнения (134) и равенство

Уравнение, соответствующее этому лангранжиану, и будет уравнением (136).

Физическое основание для указанной замены состоит в том, что колебания рассматриваемой системы во многих случаях являются преимущественно одночастот-ными, причем их формы близки к соответствующим формам свободных колебаний соответствующей линейной системы.

Как показано Н. Н. Боголюбовым в работе [131, рассмотрение уравнения (136) вместо системы (135) и, следовательно, вместо системы (133) приводит к тому, что определяется с ошибкой не выше второго порядка малости. Аналогичные заключения могут быть сделаны и в отношении точности вычисления Изложенный метод редукции В. Н. Челомея получил широкое распространение в теории колебаний и с успехом применяется для решения сложных задач.