5. АВТОКОЛЕБАНИЯ САМОЛЕТА С АВТОПИЛОТОМ

Уравнения движения системы стабилизации курса нейтрального самолета с автопилотом с постоянной скоростью сервомотора руля направления в предположении отсутствия зоны нечувствительности могут быть записаны в виде [1]

если или

если или

где пропорционально ускорению угла рыскания самолета; и пропорционально сумме скорости и ускорения угла рыскания; аргумент сервомотора; параметры, характеризующие коэффициенты соответственно искусственного демпфирования и обратной связи, и

Исследование автоколебаний, возможных в динамической системе (24), сводится к изучению свойств точечного отображения (см. п. 5 гл. II) плоскости в себя в трехмерном фазовом пространстве, разбиение которого на траектории симметрично относительно начала координат [12].

Фазовые траектории, лежащие для на цилиндрических поверхностях всякий раз пересекая плоскость с течением времени могут попасть на пластинку скользящих движений [уравнения (24в)] и затем либо в состояние равновесия которое при является устойчивым узлом, а при устойчивым фокусом, либо на край пластинки и снова в пространство

На плоскости введем три области Пусть точка Обозначим отображение точки осуществляемое по траекториям системы (24а), через а отображение точки точку или в точку осуществляемое по траекториям системы (24в), через

Преобразование плоскости в себя записывается в виде

где первое уравнение при фиксированных определяет время движения изображающей точки по траектории в подпространстве а остальные два — координаты

Формулы, определяющие преобразование имеют вид

где наименьший положительный корень уравнения

В уравнениях (26), (27) предполагается: если то если то

При двукратно примененном отображении переводящем область а в точки можно разделить на три класса: 1) допускающий неограниченное повторение отображения, включающего не включающий отображения сводящийся после конечного числа отображений к одному из предыдущих классов отображений

Рассмотрим отображение второго класса. Неподвижная точка точечного отображения определяется из уравнений

Условием существования неподвижной точки на плоскости параметров системы является область, определяемая неравенством

Для исследования устойчивости неподвижной точки точечного отображения составляют характеристическое уравнение

где

Необходимым и достаточным условием существования асимптотически устойчивой неподвижной точки является выполнение неравенств

первое из которых с учетом (25), (31) можно переписать в виде

Это условие не выполняется. Поэтому неподвижная точка, а следовательно, и соответствующий ей автоколебательный режим неустойчивы.

В рассматриваемой динамической системе без зоны нечувствительности единственным устойчивым элементом является точка Областью устойчивости в большом состояния равновесия будет при все фазовое пространство. Если и выполняется условие (29), то в фазовом пространстве существует неустойчивое периодическое движение, состоящее из двух симметричных кусков траекторий, расположенных соответственно в полупространствах (неустойчивый предельный цикл).

Геометрическим местом точек фазового пространства, имеющих своими предельными точками при предельный цикл, будет незамкнутая поверхность, проходящая через предельный цикл [3]. Она делит фазовое пространство на две части: содержащую начало координат (внутреннюю) и не содержащую его (внешнюю). Внутренняя часть заполнена траекториями, имеющими предельную точку — состояние равновесия; эта часть и является областью притяжения последнего Внешняя часть заполнена траекториями, имеющими предельные точки в бесконечности. Это означает, что если начальное отклонение от точки гаково, что изображающая точка не вышла из границ внутренней области, то в системе установится равновесный режим, если же начальное отклонение настолько велико, что изображающая точка перешла во внешнюю область, то отклонение с течением времени будет неограниченно возрастать. Если параметры системы связаны противоположным неравенству (31) соотношением, то в фазовом пространстве также существует неустойчивое периодическое движение.

Когда в системе отсутствует обратная связь на плоскости пластинка скользящих движений стягивается в прямую и неподвижной точки на ней не существует Если при этом демпфирование мало то отрезок прямой является устойчивым отрезком покоя Если коэффициент обратной связи В отрицательный при то в системе (24) существует периодический режим движения, который соответствует устойчивым незатухающим колебаниям (автоколебаниям).

Если рассматривать стабилизацию курса нейтрального самолета при наличии симметричной зоны нечувствительности, то дифференциальные уравнения движения могут быть записаны в виде [2]

Фазовое пространство системы плоскостями разбивается на три подпространства разбиение которых на траектории симметрично относительно начала координат. Отрезок является отрезком состояния равновесия. На каждой плоскости существует пластинка скользящих движений, определяемая соотношениями Изображающая точка, двигаясь в плоскости может попасть либо на ребро с которого уходит в подпространство либо на ребро , с которого уходит в подпространство

Для построения точечных отображений разобьем плоскость на области Через обозначим те области пластинки скользящих движений, двигаясь по которым фазовые траектории переходят в точки ребра причем само ребро не включается в

Пусть Тогда отображение определим как где индекс отображения означает, что движение изображающей точки происходит в подпространстве

Рассмотрим симметричный периодический режим без участков скольжения, соответствующий возможному возникновению автоколебаний в системе. Точечное отображение имеет вид (25). Отображение точки принадлежащей плоскости осуществляемое по траекториям системы в подпространстве записывается следующим образом:

Уравнения, определяющие период рассматриваемого периодического движения имеют вид

При этом .

Устойчивость неподвижной точки определяется корнями характеристического уравнения

Периодическое движение асимптотически устойчиво, если выполняются неравенства (31). Как и в случае отсутствия зоны нечувствительности первое неравенство не выполняется, и, следовательно, неподвижная точка (и соответствующее ей периодическое движение без участков скольжения) будет неустойчива.

Покажем, что в системе могут существовать автоколебания, включающие участки скользящих движений. Действительно, преобразование переводит ребро в кривую уравнение которой в параметрическом виде имеет вид

Рис. 17

Преобразование на пластинке скользящих движений переводит точки кривой у либо на конец отрезка покоя, либо на ребро (симметричного плоскости Первый случай имеет место при Это означает, что отрезок покоя устойчив при При каждая точка у преобразуется в ребро и затем преобразованием симметрии она возвращается на ребро Таким образом, рассматриваемое преобразование края в себя определяет функцию последования Исследование последней показывает, что на диаграмме Кенигса-Лемерея либо нет точек пересечения с полупрямой либо есть одна точка пересечения. Условие перехода от одного случая к другому даст условие появления из отрезка покоя периодического движения Наличие устойчивой точки соответствует существованию устойчивого периодического движения, составленного из кусков фазовых траекторий, принадлежащих пластинкам, и кусков траекторий между плоскостями Значения параметров А к В, при которых возникают автоколебания, определяются из уравнений

Область существования автоколебаний на плоскости параметров В представлена на рис. 17.

Аналогично можно исследовать вопрос о возникновении автоколебаний, выходящих за зону нечувствительности При этом отметим, что область существования автоколебательных режимов в пространстве параметров уменьшается.