2. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА—МАКСВЕЛЛА

Электромеханическими называют системы, в которых механические и электромагнитные процессы существенным образом связаны между собой. В механике характеристиками состояния являются обобщенные координаты и скорости (или импульсы). Для электромеханических систем они составляют первую группу характеристик, вторая включает величины, описывающие электромагнитные процессы.

Электромагнитное поле считается известным, если в каждой точке пространства известны два вектора: магнитной индукции В и напряженности электрического поля Эти векторы (или величины, которые могут быть через них выражены) и являются характеристиками состояния в электродинамике. Однако при рассмотрении технических электромеханических устройств можно ограничиться случаем, когда бесконечное множество величин выражается через конечное число других величин, входящих в уравнения электромеханических колебаний формально аналогично обобщенным координатам и скоростям в механике. Для этого должны выполняться условия, называемые условиями квазистационарности и состоящие в том, что можно не учитывать электромагнитные волны. Кроме того, поперечные размеры проводников должны быть малы по сравнению с их длиной (такие проводники и токи в них называют линейными); исключение могут составлять проводники — обкладки конденсаторов. Сформулированным условиям удовлетворяют почти все технические электромеханические устройства.

Линейные проводники, соединенные между собой и, быть может, с обкладками конденсаторов и источниками сторонних электродвижущих сил, образуют электрическую цепь. Пусть имеется I разветвленных цепей, связанных индуктивно, т. е. проводники одной цепи электрически не соединены с проводниками другой, но все цепи находятся в общем магнитном поле (поэтому электромагнитные процессы в цепях зависимы). Каждая цепь содержит участки (ветви), состоящие из неразветвленного проводника и, быть может, источника ЭДС и последовательно соединенных конденсаторов. Через любое сечение линейного проводника ветви течет один и тот же ток. Ветви располагаются между точками (узлами), где сходится не менее трех ветвей. Предполагается, что при механическом движении цепи топологически не изменяются, т. е. первоначально соединенные проводники не разъединяются, а разъединенные — не соединяются.

Этому условию не удовлетворяют системы с прерывателями, коллекторами и т. п. Некоторые из таких систем можно изучать с помощью приведенных в п. 5 уравнений. В общем случае уравнения более сложны (см. [10], гл. VII, пп. 9—10).

Пусть число ветвей, число узлов цепи. Пусть в каждой ветви выбрано (произвольным образом) положительное направление тока. Обозначим через

где гоки в ветвях (нумерация ветвей также произвольна). По первому закону Кирхгофа токи связаны соотношениями

где если ветвь не подходит к узлу с номером если ветвь подходит к узлу, причем один знак берется для ветвей, в которых положительное направление тока выбрано к узлу, другой — для ветвей с направлением тока от узла. Для цепи имеется независимых уравнений, а для всей совокупности цепей уравнений (1).

Среди токов можно выбрать токов, так, что остальные токов выразятся из (1) через выбранные линейными соотношениями. При этом в цепи можно выразить токов через выбранных токов. Число наименьшее число токов, обладающих указанным свойством. Изменяя нумерацию, обозначим выбранные токи через

Разветвленные цепи системы можно представить в виде совокупности (наложения) замкнутых неразветвленных контуров так, чтобы токи в контурах были При этом выбранные ветви будут входить только в один контур, а остальные могут входить в два и более. Токи в таких ветвях будут алгебраическими суммами токов в контурах, в которые входит ветвь. Следовательно, соотношения, связывающие остальные токи с выбранными контурными, имеют вид

где если ветвь не входит в контур; если ветвь входит в контур и положительное направление гока в ней совпадает с положительным направлением тока если эти направления противоположны.

В результате рассмотрение совокупности разветвленных цепей свелось к рассмотрению замкнутых неразветвленных контуров.

Выбор токов неоднозначен, по и не произволен. Чтобы найти подходящие токи, нужно провести в схеме цепи по ее ветвям ломаную линию, проходящую через все узлы и не образующую ни одного замкнутого контура. Токи в ветвях, не вошедших в ломаную, можно принять за Добавив к ломаной отрезок, проходящий через ветвь с током получим один замкнутый контур. Это и будет контур с током в разбиении цепи на неразвствленные контуры. Разным способам проведения ломаной соответствует разный выбор токов и разные разбиения цепи.

Если среди цепей имеются неразветвленные контуры, то токи в них непосредственно включаются в совокупность

Токи порождают в окружающем пространстве магнитное поле. Вектор В в любой точке пространства с достаточной точностью можно считать функцией координатной точки и токов Исключение составляет просгранствовнутри самих проводников, где индукция зависит от распределения тока по поперечному сечению проводника, но обычно этим обстоятельством можно пренебречь. Пусть пространство заполнено магнитолинейной в которой В — линейная функция токов; практически такой средой можно считать любое вещество, кроме стали и некоторых сплавов в достаточно сильных полях. Тогда индукция в точке пространства с координатами

Электрическое поле рассматривается только в пространстве (узких зазорах) между обкладками конденсаторов, причем вектор лилейная функция заряда конденсатора

Заряд связан с током ветви, в которую включен конденсатор, соотношением Величину

где интеграл берется по всему пространству, называют энергией магнитного поля; характеристика среды, в которой создано поле; она является функцией координат и называется магнитной проницаемостью. Согласно

Величины при называют коэффициентами самоиндукции и при коэффициентами взаимной индукции контуров.

Часто учитывают только магнитное поле, сосредоточенное в областях вблизи некоторых участков ветвей (катушки индуктивности, трансформаторы и т. п.). При этом энергия поля задается как функция токов ветвей

Подставляя в (7) выражения (2) для токов ветвей можно выразить коэффициенты индукции контуров через заданные коэффициенты индукции

Часть величин может равняться нулю. Величину

где интегралы берутся по пространству между обкладками конденсаторов, называют энергией электрического поля, характеристика среды, называемая диэлектрической постоянной. Согласно (4)

где емкости конденсаторов. Предположим для упрощения записи, что в каждой ветви не более одного конденсатора. Для ветвей без конденсатора следует считать

Из (2) после интегрирования находим связь между зарядами

где начальные значения зарядов конденсаторов. Это позволяет сохранить в выражении для V только заряды в первых ветвях, т. е.

Величины называют инверсными емкостями при и взаимными инверсными емкостями при Они определяются соотношениями

Величины и зависят от начальных зарядов:

Цепи характеризуются также активными сопротивлениями ветвей Важен случай, когда В этом случае вводится величина

называемая электрической диссипативной функцией. Она связана с мощностью затрачиваемой на джоулево тепло, соотношением С помощью (2) функцию можно представить через контурные токи:

Пусть сторонняя ЭДС в ветви. Алгебраическая сумма сторонних ЭДС в контуре выражается через величины соотношением

Для описания механического движения должны быть введены обобщенные координаты; они обозначаются через При движении может меняться распределение в пространстве магнитной прмдщаемости, а также расположение линейных проводников и пластин конденсаторов. Это приводит к тому, что коэффициенты индукции и инверсные емкости оказываются функциями В результате энергия магнитного поля будет функцией контурных токов и обобщенных координат, а энергия электрического поля — функцией зарядов и координат.

Уравнения, описывающие взаимосвязанные электромагнитные и механические процессы в электромеханических системах и называемые уравнениями Лагранжа-Максвелла, имеют вид

где

кинетическая энергия; потенциальная энергия; — непотенциальные обобщенные силы. Предполагается, что связи в системе стационарные и голономные. О выводе уравнений (17) см. в работах [7, 9, 10].

Система (17) содержит уравнений второю порядка относительно неизвестных функций Все уравнения (17) имеют структуру уравнений механики, т. е. если принять формально за обобщенные координаты системы с кинетическим потенциалом то (17) можно записать как уравнения Лагранжа второго рода этой системы. При этом первым координатам соответствуют обобщенные силы а остальным — силы Токи имеют смысл обобщенных скоростей, формально можно отнести к кинетической, к потенциальной энергиям. Величины

называемые магнитными потоками или потоками индукции (в электротехнике — потокосцеплениями), аналогичны обобщенным импульсам; есть ноток вектора индукции В через любую поверхность, натянутую на контур. Переписав уравнения движения в виде

можно интерпретировать два последних члена в правой части как обобщенные силы, обусловленные механическим воздействием магнитного и электрического полей. Такие силы называют пондероиоторными.

В технике важную роль играет случай, когда токи проводимости замкнуты и все В этом случае заряды не входят в (17) и аналогичны квазициклическим координатам в механических системах. Выразив из (18) токи через потоки и подставив их в выражение для можно записать уравнения, аналогичные уравнениям Рауса в механике:

Здесь а токн выражены через потоки соотношением

аналогичным известному соотношению между скоростями и импульсами в механике; компоненты матрицы, обратной матрице

Уравнения вида (17) или (20) можно записать для систем, включающих массивные ооъемнре трехмерные) проводники. «Электрическая» группа будет содержать при этом счетное множество уравнений [10, гл. VII].

В случае магнито- или электронелиьейных сред индукция В или напряженность электрического поля не пропорциональна соответственно токам или зарядам Представляет интерес рассмотрение ферромагнетиков с насыщением и гистерезисом.

В электродинамике наряду с В вводят вектор напряженность магнитного поля; в магнитолинейпых средах Для технических ферромагнетиков и обычно встречающихся значений частоты изменения поля можно считать, что направлены по одной прямой. Зависимость где проекции на параллельную им ориентированную ось, должна быть известной. Пусть эта зависимость однозначна (гистерезис не учитывается). В этом случае используется функция

для ее определения нужно знать в каждой точке пространства как функцию токов и обобщенных координат. Уравнения (17) сохраняются, взять согласно при этом же условии сохраняются и соотношения

Обратные соотношения имеют вид

где

Прежний вид имеют и уравнения Рауса (20), но функция должна быть заме нена по (24).

Для исследования систем с гистерезисом нужно заранее знать направления изменения токов, т. е. знаки (V, так как эти знаки определяют характер намагничивания и связи потоков с токами.

Уравнения (17), (20), вообще говоря, нелинейные. Далее рассмотрим случаи, когда их можно линеаризовать или исследовать с помощью методов нелинейной механики.