6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ЭЛЕКТРОМАГНИТОМ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЧЕРЕЗ КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЛИЯНИЯ В СЛУЧАЕ НЕАВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ

Электромагнит (см. рисунок) является примером возбудителя колебаний подверженного заданным немеханическим воздействиям и описываемого неавтономными уравнениями движения, Вследствие необходимости рассматривать электромагнитные процессы в возбудителе и неавтономности уравнений движения теория систем с электромагнитами существенно отличается от изложенной выше теории систем с механическими возбудителями и должна быть отнесена к другому разделу теории систем с ограниченным возбуждением, Однако решение задачи о колебаниях под воздействием электромагнитов также можно представить через гармонические коэффициенты влияния.

Уравнения электромагнитного возбудителя записывают в виде (25), если под понимать энергию магнитного поля а обобщенные скорости заменить на токи (2 в обмотках (см рисунок). При допустимых предположениях (см. гл. XIII)

где числа витков обмоток; магнитное сопротивление сердечника и якоря; площадь сечения сердечника; магнитная проницаемость воздуха; расстояние между якорем и сердечником в положении статического равновесия; изменение расстояния при колебаниях между якорем и сердечником, отсчитываемое в сторону увеличения зазора.

Физический смысл величины не зависит от того, с какой колебательной системой связан электромагнит.

Вместо уравнений Лангранжа (25) в этом случае удобнее использовать уравнения Рауса Для их составления следует ввести новую переменную — магнитный поток проходящий через сечение сердечника,

Уравнения в форме Рауса, описывающие взаимодействие электромагнита с произвольной линейной колебательной системой, имеют вид

где амплитуда напряжения сети; постоянная ЭДС, включенная в цепь обмотки активные сопротивления цепей сила, создаваемая электромагнитом. Вектор описывает нагрузку, состоящую из двух единичных сил, одна из которых приложена к якорю электромагнита и направлена от сердечника, а другая приложена к сердечнику и направлена от якоря. Через в уравнениях (38) обозначен условно введенный малый параметр, соответствующий малым членам безразмерных уравнений. По окончании вычислений следует положить «Истинным» малым параметром задачи является отношение сопротивления к индуктивному сопротивлению первой обмотки.

Так в (38) следует считать функцией определяемой соотношением (37). Периодические решения системы (38) могут быть найдены методом Пуанкаре В первом приближении получаются выражения для законов изменения во времени искомых переменных

Величины имеют следующий механический смысл. Пусть цепи электромагнита разомкнуты и токи и электромагнитные силы отсутствуют, а к якорю и сердечнику электромагнита вдоль линии действия электромагнитных сил приложены две равные по величине и противоположные по направлению гармонические силы, амплитуды которых равны единице, а частота — Определим периодические колебания под действием этих сил, найдем амплитуду изменения расстояния между сердечником и якорем и сдвиг фаз между относительным перемещением и силами Найденные амплитуда фазовый сдвиг равны соответственно и Аналогичный смысл имеют величины и только следует рассматривать колебания под действием единичных сил частоты Величина равна перемещению якоря относительно сердечника при равновесии под действием двух статически приложенных к ним единичных сил.

Постоянная составляющая магнитного потока а определяется из уравнения

где

Каждому решению (их может быть одно или три) уравнения (40) соответствует периодический режим Устойчивый режим возможен, если уравнение (40) имеет три корня, при этом он соответствует наименьшему по модулю корню. Условием, при выполнении которого существует устойчивый режим, является неравенство

Поток ток и сила через параметр а зависят от коэффициентов влиян и фазового сдвига Это означает, что вследствие взаимодействия электромагнит нельзя рассматривать как источник заданных вынуждающих сил. Более тою, взаимодействие не только существенно влияет на величину сил, но и вызывает нелинейные эффекты. К их числу относятся неустойчивость и связанные с ней срывы колебаний (появление ударов якоря о сердечник) при изменении параметров и нереализуемость примыкающего к резонансу участка амплитудно-частотной характеристики.

Теория систем с электромагнитными возбудителями включает еще ряд задач, относящихся к рассмотрению других схем электромагнитов, изучению влияния магнитной нелинейности, нелинейности в колебательной системе и т. д. Краткий обзор этой теории и библиография приведены в гл. XIII.

Использование метода Пуанкаре и представление решения через коэффициенты влияния возможно во всех тех задачах о взаимодействии, когда уравнения при каком-либо выборе искомых переменных записывают в виде

где неизвестные векторы; периодические функции времени (периода вектор, определенный в п. 5. При этом должны быть известны периодические решения системы

Наибольший интерес представляет случай, когда периодические решения не изолированы, т. е. когда имеется их семейство зависящее от одного или нескольких произвольных параметров (как в задаче об электромагните, где имеется один параметр а). В случае изолированного порождающего решения малые члены в (43), а следовательно, и взаимодействие дают лишь чисто количественные малые (порядка ) поправки к порождающему решению, которые в технических расчетах обычно несущественны. Если же периодические решения не изолированы, то малые члены обусловленные взаимодействием, определяют значения параметров порождающего решения. Это указывает на существенное влияние слабых взаимодействий на динамические особенности системы.

Для исследования неизолированных периодических решений методом Пуанкаре следует знать 2 я/со — периодические решения линейной системы уравнений вида

в которой производная вычисляется при Система (45) является сопряженной относительно уравнений в вариациях, составленных для уравнений (44) на решении

Если периодические решения уравнений (44). (45) известны, то задача о взаимодействии может быть решена по следующей схеме. Внеся порождающее решение в выражение для сил и разлагая их в ряды Фурье, получим

Последнее позволяет представить выражения для переменных через коэффициенты влияния и фазовые сдвиги в виде

Уравнения для определения параметров порождающего решения имеют вид (см. гл. II, п. 3)

где считается, что в выражение для V подставлено из (47).

Периодическое движение устойчиво, если корни уравнения

удовлетворяют условию и неустойчиво, если имеется хотя бы один корень такой, что

Входящие в соотношение (47) коэффициенты влияния и фазовые сдвиги определяют из равенств

в которых периодическое решение уравнения

Если не зависят от решение строят по схеме метода Пуанкаре применительно к автономным системам.

Полученным решением можно пользоваться также при анализе резонансных колебаний, когда вынуждающие силы и силы трения малы, а одна из собственных частот колебательной системы близка к частоте со или кратна ей (см. п. 2). Среди величин будут величины, имеющие порядок которые следует оставить в (47), Величины будут по-прежнему порядка единицы, так как при из (47) получается Условия устойчивости движений могут быть различными в резонансном и нерезонансном случаях.