Резонансы n-го рода. Одночастотные резонансы.

Пусть удовлетворяется резонансное соотношение вида для одной из частот, например

где расстройка частот, выражающая приближенность выполнения резонансного соотношения.

Тогда уравнения для огибающих, полученные с использованием принципа усреднения применительно к системе (5), примут вид [4]:

для резонансных координат

для нерезонансных координат

Имея в виду решение задачи о пространственной устойчивости, в уравнениях (13), (14) сохраняем лишь линейные члены относительно переменных

Из уравнений (14) следует, что решение условно устойчиво относительно переменных поскольку Условия устойчивости этого решения по отношению к переменным получим, исходя из уравнений (13):

При определенных соотношениях между параметрами системы второе из неравенств (15) может не выполняться; тогда возникнут колебания в направлении координаты с частотой Резонансные пространственные колебания тела имеют вид

Кратные резонансы. Рассмотрим резонансное соотношение

Анализируя уравнения огибающих, записанные для этого случая, находим условия пространственной устойчивости вынужденного режима колебаний тела

Последние получены для частного случая , причем -

Если условия (18) выполняются, т. е. неравенства определяют область устойчивости в пространстве параметров исследуемой системы независимо от коэффициентов трения и расстроек Эти неравенства можно назвать достаточными условиями устойчивости в пространстве параметров Теоретический и практический интерес представляет определение условий устойчивости, когда нелинейные члены в уравнениях движения обусловлены только инерционными свойствами тела Такие случаи имеют место, например, если твердое тело находится в сравнительно слабом поле потенциальных сил (потенциальная энергия системы мала по сравнению с ее кинетической энергией). Тогда условия устойчивости характеризуются неравенством

на основании которого построена область устойчивости на рис. 2, о.

По физическому смыслу моментов инерции имеем Поэтому рассмотрим только часть плоскости (ограниченную штриховыми линиями), в которой выполняются эти неравенства (рис. 2, а). Как видим, резонансные колебания в направлении координат в и не могут возбуждаться независимо от остальных параметров системы. Формулы, аналогичные (18), (19), можно получить

и для других случаев двукратных резонансов. Так, если учитывать нелинейности лишь инерционных свойств тела, то достаточными условиями устойчивости в пространстве параметров будут

Первое неравенство определяет область устойчивости, которую получаем при изучении возможностей возбуждения резонансных колебаний в направлении координат и (для случая действия внешней периодической силы в направлении координаты Второе неравенство относится к случаю действия внешней силы в направлении координаты 0, третье — в направлении Соответствующие области устойчивости в пространстве параметров показаны на рис. 2, б, в.

Рис. 2

Первое и второе неравенства при в областях, соответствующих физическому смыслу моментов инерции, всегда удовлетворяются (на рис. 2 и 3 эти области ограничены штриховыми литями). Егли то удовлетворяются все неравенства, для сферы невозможно возбуждение пространственных колебаний за счет инерционных членов в уравнениях движения.

Таким образом, симметрия относительно упругих, геометрических и инерционных свойств твердого тела делает систему более устойчивой.