7. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С МАЛОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДИССИПАЦИЕЙ. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Динамику ряда технических устройств, в частости вибрационных машин с электромагнитными вибраторами, можно исследовать, основываясь на том, что активные сопротивления их электрических цепей мрлы по сравнению с индуктивными. Наиболее интересен случай, когда цепи подключены к достаточно мощной сети, напряжение в которой можно считать заданной периодической функцией времени,

и требуется определить периодические электромеханические колебания, имеющие частоту сети. В этом случае может быть использован метод Пуанкаре.

Для систем с замкнутыми токами проводимости следует исходить из уравнений Рауса (20). В них можно ввести безразмерные переменные где — характерное значение напряжения. Тогда в первых уравнениях перед вторым членом в левой части появится множитель где соответственно характерные значения сопротивления и индуктивности. Величина является малым параметром, поэтому периодические решения можно искать в виде рядов по степеням Если в полученных решениях вернуться к исходным размерным переменным, то результат совпадет с тем, который получится при использовании непосредственно уравнений (20), как показано ниже. Это позволяет не вводить малый параметр явно, что удобнее.

Напряжения между точками сети, к которым подключены цепи, можно рассматривать как сторонние ЭДС. Тогда функции в (20) будут известными -периоди-ческими частота сети) функциями времени. Возможно, что имеют постоянные составляющие, т. е. где не имеют постоянных составляющих:

Постоянные составляющие токов имеют порядок Случай, когда на порядок относительно больше переменных составляющих токов, в технике обычно не допускается. Поэтому должны быть малы и наряду с относиться к величинам порядка

Периодические колебания определяются по следующей схеме. После отбрасывания малых членов из (20) выделяется подсистема

из которой находятся магнитные потоки в порождающем приближении

где пока произвольные постоянные.

Используя (46), можно найти пондеромоторные силы как функции времени, механических координат и постоянных После этого для определения в порождающем приближении из второй группы уравнений (20) получается система, описывающая механические колебания, возбуждаемые найденными -периодическими пондеромоторнымн силами. Пусть определены ее -пе-риодические решения Вместе с (46) они составят семейство порождающих решений, зависящих от параметров Из всех решений этого семейства к искомым решениям системы (20) буут близки лишь решения с некоторыми конкретными значениями значения являются корнями системы уравнений

Число периодических режимов равно числу вещественных решений уравнений (47).

Для составления уравнений (47) нужно вычислить в порождающем приближении токи какфункциио, При этом нужно исходить из выражений согласно (21) и внести в них найденные в порождающем приближении.

Уравнения (47) эквивалентны системе

которая получается, если разрешить (47) относительно

Выражения и при значениях удовлетворяющих (47) или (48), дают первые члены в разложениях искомых переменных по степеням 8.

Для устойчивости электромеханических колебаний необходимо, чтобы было устойчиво механическое движение, описываемое функциями при значениях удовлетворяющих (48). Пусть это условие выполнено. Тогда режим устойчив, если при соответствующих ему значениях корни уравнения

удовлетворяют условию и неустойчив, если вещественная часть хотя бы одного корня положительна; в (49) — символ Кронекера.

Интересен случай, когда обобщенные силы потенциальные, т. е. все При этом возникают еще так называемые «дополнительные» условия устойчивости, но в технических задачах они обычно слабее указанных выше, В рассматриваемом случае

где

— энергия токов подмагничивания; средние значения в выражении для подсчитываются по порождающему решению. Следовательно, значения соответствующие устойчивым режимам, сообщают функции минимум и, наоборот, значения, при которых имеет минимум, соответствуют устойчивым режимам.

Последнее утверждение называют интегральным критерием устойчивости; его доказательство см. в работе [14]. В частных случаях критерий справедлив и при наличии механических диссипативных сил [14]. Он облегчает определение так как позволяет использовать известные способы нахождения минимума. Впервые критерий такого типа был доказан И. И. Блехманом для иных систем [1].