15. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Дифференциальные уравнения, в которых коэффициенты и свободные члены являются случайными функциями, называют дифференциальными уравнениями со случайными функциями. При исследовании дифференциальных уравнений со случайными функциями различают два случая.

В первом из них случайные функции достаточно гладкие и большинство вопросов, связанных с исследованием свойств решения, можно решить классическими методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений, за исключением вопросов, связанных с нахождением вероятностных характеристик решения (нахождение конечномерных распределений решения, математического ожидания, дисперсии и

Во втором случае уравнения содержат случайные функции типа белого шума. Такие уравнения получаются в результате предельного перехода от уравнений, описывающих системы, находящиеся под быстропеременными воздействиями. Аналога таким уравнениям в классической теории не существует и для них разработана специальная теория стохастических дифференциальных уравнений типа [16]. Когда решения этих уравнений являются марковскими процессами, существуют эффективные методы определения конечномерных распределений решения.

Прежде чем переходить к изложению методов исследования нелинейных систем при случайных воздействиях приведем необходимые для этого теоретико-вероятностные понятия.

Случайные величины.

Случайной величиной называют величину X, которая в зависимости от случая принимает те или ииые действительные значения. Случайная величина задается своей функцией распределения т. е. неубывающей, непрерывной слева функцией, для которой Разность

дает вероятность того, что значения случайной величины X лежат в интервале Если существует представление

то функцию называют плотностью распределения (дифференциальным законом распределения) случайной величины Из представления следует, что почти всюду Случайная величина, которая имеет плотность распределения, называется непрерывной случайной величиной. Случайная величина, которая принимает конечное или счетное чьсло значений соответственно с вероятностями называется дискретной случайной величиной Для дискретной случайной величина функция распределения ступенчата (при значениях случайной величины терпит соответственно скачки величиной

Математическое ожидание случайной величины X (среднее значение X) определяется соотношением

где функция распределения случайной величины X, причем интеграл понимается в смысле Стильтьеса. Для непрерывных и дискретных случайных величин это соотношение имеет соответственно вид

Дисперсия случайной величины X (среднеквадратичное отклонение значений случайной величины X относительно своего среднего значения

Для непрерывных и днскрешых случайных величин это соотношение имеет соответственно вид

Случайный вектор. Случайный вектор представляет собой конечное семейство случайных величин, называемых компонентами случайного вектора. Он полностью задается совместной функцией распределения компонент. Совместная функция распределения компонент удовлетворяет условиям согласованности:

где любая перестановка индексов совместная функция распределения части компонент Следовательно, зная совместную функцию распределения случайного вектора, можно найти совместную функцию распределения любой части компонент, Кроме того а X

где разностный оператор с шагом — а, взятый в точке дает вероятность того, что значения случайного вектора X лежат в -мерном параллелепипеде В случае, когда существует представление

функцию называют совместной плотностью распределения компонент случайного вектора При этом почти везде имеет место равенство

и

Зная совместную плотность распределения компонент вектора можно найти совместную плотность любой части компонент. Для этого нужно совместную плотность распределения проинтегрировать по остальным переменным по всей области их изменения. Например,

есть плотность распределения первой компоненты если совместная плотность распределения случайного вектора

Независимость случайных величин. Случайные величины называются независимыми, если

совместная функция распределения случайных величин функция распределения случайной величины

Случайные процессы.

Совокупность случайных величин, зависящих от одного вещественного параметра есть случайный процесс, т. е. случайный процесс — это случайная функция от независимого переменного Случайный процесс считают полностью заданным, если для любых и любого задана совместная функция распределения случайных величин

Эти совокупности функций распределения называются конечномерными распределениями процесса

Конечномерные распределения дают исчерпывающую характеристику случайного процесса. Однако, во многих случаях представляет интерес более сжатая характеристика распределений. Например, для вычисления математического ожидания и дисперсии от случайного процесса в момент времени достаточно знать одномерное распределение процесса в точке а для вычисления корреляционной функции процесса достаточно знать двумерное распределение В случае существова! одномерной и двумерной плотности распределения процесса в случае существования функций

математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция вычисляются по формулам:

Корреляционная функция процесса характеризует меру линейной зависимости значений процесса в точках Например, если то существуют неслучайные постоянные такие, что При корреляционная функция дает дисперсию процесса, Определим наиболее распространенные классы случайных процессов 1 Стационарные процессы Процесс называется стационарным, если а корреляционная функция зависит только от разности аргументов Важным подклассом этих процессов являются процессы, в которых и другие вероятностные характеристики не меняются при сдвиге времени 2. Процессы с независимыми приращениями Процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любых приращения являются независимыми случайными величинами Для процесса с независимыми приращениями, зная распределения приращения для любых можно выписать конечномерные распределения.

3 Нормальные процессы Процесс называется нормальным, если для любых и любого совместное распределение случайных величин является норпальным распределением, т. е. совместная плотность распределения имеет вид

где - положительно определенная матрица с элементами — определитель матрицы элементы обратной матрицы

4. Винеровские процессы Нормальный случайный процесс с независимыми приращениями, для которого называется винеровскнм процессом Такой процесс еще называют процессом броуновского движения. Для винеровского процесса приращения распределены по нормальному закону с плотностью

5. Белый Стационарным белым шумом будем называть процесс математическое ожидание которого равно 0, а корреляционная функция содержит множителем функцию Дирака, т. е. Дисперсия белого шума равна бесконечности Множитель характеризует интенсивность белого шума. Белый шум в чистом виде в природе не существует, так как для его реализации необходима бесконечная мощность. Однако понятие белого шума удобно при построении математической теории, и многие процессы в большей или меньшей степени приближаются к нему. Спектральная плотность белого шума постоянна Белый шум является обобщенной производной от винеровского процесса, поэтому значения в каждый момент времени не имеют непосредственного смысла.

6. Марковские процессы В основе понятия марковского процесса лежит представление о системе, поведение которой в будущем полностью определяется состоянием системы в данный момент времени не зависит от поведения системы в прошлом). Они задаются переходными функциями распределения определяющими вероятность того, что система, находящаяся в момент времени в состоянии х, окажется в момент времени в одном из состояний, принадлежащих области При фиксированных переходная функция распределения является функцией распределения по у и удовлетворяет уравнению

где интеграл берется по всему пространству состояний процесса Это уравнение иосит название уравнения Чепмена-Колмогорова В случае, когда переходную функцию распределения можно представить в виде

функцию называют переходной плотностью марковского процесса. Уравнение Чепмена-Колмогорова для переходной плотности имеет вид

кроме того, Зная функцию распределения начального состояния марковского процесса и переходную функцию распределения или переходную плотность, можно выписать конечномерные распределения процесса По существу марковский процесс является вероятностным аналогом процессов классической механики, в которых дальнейшее развитие процесса определяется состоянием в настоящий момент и не зависит от способа, которым это состояние было достигнуто Аналогична определяются многомерные марковские процессы.