Воздействие гармонической силы на нелинейную систему.

В качестве частного случая колебательной системы, описываемой уравнением (89), рассмотрим колебания нелинейного вибратора, находящегося под воздействием гармонической силы.

Для этого уравнения (при согласно (97) и (98) в первом приближении получаем

где должны быть определены системы уравнений

Принимая во внимание обозначения (83), уравнения (105) можно записать в виде

где эквивалентный декремент затухания колебаний и эквивалентная частота нелинейных собственных колебаний, описываемых уравнением (104) при отсутствии внешнего возбуждения. Рассмотрим стационарный режим. Для этого следует приравнять нулю правые части системы (106):

откуда, исключая фазу находим следующую зависимость между амплитудой стационарных колебаний и частотой внешней силы:

Полученные уравнения (107) и (108) совпадают с уравнениями, которые в классической линейной теории колебаний используют для определения амплитуды и фазы вынужденных колебаний в линейной системе с массой коэффициентом жесткости и коэффициентом сопротивления находящейся под воздействием внешней силы

В результате проведенного анализа можно сформулировать методику (правило) построения резонансных стационарных амплитуд в зависимости от частоты внешней силы. Для нелинейной системы, находящейся под воздействием внешней гармонической силы с частотой близкой к собственной частоте системы найдем значения амплитуды и фазы синхронного стационарного колебания. Для этого линеаризуем данную колебательную систему в свободном состоянии (т. е. не принимая во внимание внешней силы и определяем функции амплитуды — эквивалентный декремент и эквивалентную частоту собственных колебаний. Подставив найденные значения в классические соотношения линейной теории колебаний, получим уравнения для определения искомых амплитуды и фазы,

С помощью формулы (108) легко построить кривую зависимости амплитуды от частоты, называемую резонансной кривой.

Запишем условие устойчивости для рассматриваемых стационарных синхронных колебаний. Уравнения (106) можно представить в виде

а уравнения стационарных синхронных режимов (107) в виде

где и соответственно правые части системы (109).

Воспользуемся условиями устойчивости (103), которые в рассматриваемом случае имеют вид

При обычных законах трения условие (110) выполняется всегда. Условие (111) можно значительно упростить и привести к виду

Полученные условия устойчивости (112) очень удобны при графическом построении зависимости амплитуды от частоты. Воспользовавшись уравнением (108), построим резонансную кривую (рис. 7)

и кривую

определяемую уравнением точного резонанса и называемую скелетной кривой На ветви кривой, описываемой (113) и лежащей левее кривой, описываемой

(114), устойчивыми (т.е. соответствующими устойчивым амплитудам) будут те участки, на которых а возрастает вместе с V, на ветйи, лежащей правее кривой, описываемой (114), устойчивыми будут те участки, на которых а убывает с возрастанием По приведенным кривым можно определить устойчивые стационарные амплитуды, точки срыва и скачка, обусловливающие гистерезисные явления, характерные только для нелинейных систем.

Пример. Пусть колебания осциллятора описываются уравнением

Допустим, что в рассматриваемой системе коэффициент вязкого трения, а также амплитуда внешней силы являются палыми, а характеристика восстанавливающей силы достаточно близка к линейной Тогда После несложных преобразовании находим откуда с помощью этой зависимости строим резонансную кривую (рис 8), а также скелетную кривую, определяемую уравнением (штриховая линня на рис 8)

Устойчивым амплитудам будут соответствовать участки резонансной кривой и Точки точки срыва и скачка амплитуды

Рис. 7

Рис. 8

Кривые, приведенные на рис 8, позволяют полностью проанализировать характер колебаний в исследуемой системе при изменении частоты внешней силы При увеличении частоты внешней силы амплитуда вынужденных колебании возрастает по кривой происходит срыв амптитуды — значение амплитуды скачком переходит в точку С и при дальнейшем увеличении частоты внешней силы изменяется по кривой Если начать уменьшать частоту, то амплитуда вынужденных колебаний будет изменяться по кривой В точке значение амплитуды перейдет к значению соответствующему точке А, и дальше амплитуда будет изменяться по верхней ветви резонансной кривой изме нением частоты внешней силы подразумеваем очень медленное ее изменение, такое, что прак тически в каждый момент систему можно рассматривать как стационарную)