3. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА

Основные идеи метода. Случай неавтономной системы, близкой к произвольной нелинейной.

Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века [56]. Первостепенную роль при использовании метода Пуанкаре играет теория устойчивости движения и теория периодических решений дифференциальных уравнений, развитая примерно в тот же период А. М. Ляпуновым [35].

Методы А. Пуанкаре и А. Ляпунова за последние три десятилетия получили дальнейшее развитие в работах многих исследователей; эти методы были с успехом использованы при решении ряда важных прикладных задач, они являются в настоящее время одним из наиболее эффективных и универсальных в теории колебаний нелинейных систем.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

где аналитические функции переменных в замкнутой области которой принадлежат все рассматриваемые ниже решения уравнений, и непрерывные -периодические функции переменной (времени) в любой точке области Положим, что являются также аналитическими функциями малого параметра при где . В большинстве прикладных задач перечисленные жесткие требования относительно гладкости правых частей уравнений, существенно облегчающие исследование, являются достаточными; эти требования могут быть существенно ослаблены. Система (40) неавтономна; предполагается, что правые части уравнений содержат время в явной форме.

Отыскание периодических решений системы

получающейся из (40) при и называемой порождающей системой, может оказаться более простым, чем нахождение периодических решений системы (40). Предположим, что -периодические решения порождающей системы существуюти известны. Возникает вопрос, можно ли «доверять» этим решениям в том смысле, что им однозначно соответствуют близкие периодические решения исходной системы, т. е. решения исходной системы, обращающиеся при в решения порождающей системы. Иногда возникает также необходимость найти решения исходной системы более точно, т. е. с учетом членов, содержащих

Принципиальное решение указанных задач дает теория А. Пуанкаре. Им было, в частности, показано, что соответствие между решениями систем (40) и (41) имеет место не всегда. В зависимости от характера правых частей уравнений (40) может оказаться, что периодическому решению порождающей системы (41) не соответствует периодическое решение исходной системы (40). С другой стороны, возможны случаи, когда решению порождающей системы отвечает несколько и даже бесчисленное множество периодических решений исходной системы. Именно эти особые случаи представляют наибольший интерес для теории нелинейных колебаний.

При практическом использовании метода Пуанкаре периодическое решение системы (40) разыскивают в виде рядов

с -периодическими коэффициентами по целым положительным степеням параметра хотя в некоторых случаях разложения могут быть по дробным степеням Подставляя выражения (42) в уравнения (40) и разлагая их правые части по степеням приравнивают выражения при одинаковых степенях из обеих частей равенств. Тогда получаются следующие системы уравнений для определения приближений

В уравнениях (43) и (44) введено обозначение

где скобки с индексом означают, что производные вычисления для порождающего решения Исходное приближение определяют из системы (41). Если

известно -периодическое решение этой системы (порождающее решение), то для нахождения функций могут быть последовательно использованы рекуррентные системы уравнении (43), (44). Каждая из этих систем представляет собой систему линейных неоднородных уравнений с одинаковой однородной частью

коэффициенты которой являются -периодическими функциями времени вследствие -периодичности решения и функций

Ответ на поставленные выше основные вопросы, таким образом, зависит от того можно ли найти единственные -периодические решения уравнений (43), (44), а также будут ли ряды (42) сходящимися, по крайней мере при достаточно малых Решение этих вопросов существенно зависит от характера системы уравнений (46) которая играет первостепенную роль в дальнейшем и которую, следуя А. Пуанкаре, называют уравнениями в вариациях для порождающей системы, составленными для порождающего решения.

В теории линейных дифференциальных уравнений установлено, что если система (46) не имеет -периодических решений, то -периодическне решения уравнений (43) и (44) непременно существуют и являются единственными. Исследование показывает, что в этом простейшем случае периодическому решению порождающей системы (41) отвечает (по крайней мере при достаточно малых одио единственное аналитическое решение (42) исходной системы (40), обращающееся при в решение

Значительно сложнее случай, когда система в вариациях (46) имеет -периоди-ческие решения; такой случай встречается, в частности, тогда, когда порождающая система (41) допускает семейство -периодических решений

зависящее от некоторого числа произвольных параметров Предполагается при этом, что параметры входят в выражения (47) независимо, т. е. ранг матрицы равен Тогда согласно теореме А. Пуанкаре [56] система в вариациях (46) непременно имеет периодических (с периодом решений

По крайней мере периодических решений имеет в рассматриваемом случае также система уравнений

называемая сопряженной с системой (48). Предположим, что иных периодических решений, независимых от указанных, системы (46) и (49) не имеют.

Согласно теореме Малкина [38] в рассматриваемом случае -периодические решения исходной системы вида (42) могут соответствовать лишь тем решениям семейства (47) системы (41), для которых постоянные удовлетворяют системе уравнений

Каждому простому решению этих уравнений, т. е. решению. Для которого

при достаточно малых действительно отвечает единственное, аналитическое относительно -периодическое решение исходной системы (40) вида (42).

Равенства (50) явтяются необходимыми и достаточными условиями существования -периодического решения уравнений (43).

Исследование устойчивости периодических решении, наиденных методом малою параметра Пуанкаре, имеет ряд особенностей. Согласно теории А. М. Ляпунова решение вопроса об устойчивости зависит от характера решений системы уравнений в вариациях для уравнений (40) и решения (42)

которая представляет собой линейную однородную систему с -периодическими коэффициентами (круглые скобки, в которые заключены производные, указывают на что они вычислены для рассматриваемого решения). Уравнения (52) описывают поведение малых отклонений движения от рассматриваемого периодического движения с течением времени. Если все решения системы (52) стремятся к нулю при то рассматриваемое движение асимптотически устойчиво, наличию хотя бы одного неограниченно нарастающего решения соответствует неустойчивость, а случай, когда имеются нетривиальные периодические решения, требует дополнительного исследования.

Одна из важных особенностей исследования характера решений системы в вариациях (52) связана с наличием в ней малого параметра. Если система, получающаяся из (52) при т. е. система (46), имеет только затухающие при решения, то изучаемое движение асимптотически устойчиво и при достаточно малых Если система (46) имеет хотя бы одно неограниченно возрастающее при решение, то рассматриваемое движение при достаточно малых неустойчиво. Когда система (46) имеет периодические решения, для ответа на вопрос об устойчивости движения (даже при достаточно малых необходимо рассмотреть члены уравнений (52), содержащие

Последний «критический» случай представляет наибольший интерес, ибо он соответствует случаю, когда порождающая система имеет семейство -периодических решений. Специальное исследование приводит к следующему результату, также принадлежащему Малкину [7, 38].

Пусть все решения системы (46), отличные от периодических решений (48) и от их линейных комбинаций, при либо неограниченно убывают, либо неограниченно приближаются к указанным периодическим решениям или их комбинациям. Тогда -периодические решения сопряженной системы (49) всегда можно выбрать, так, чтобы удовлетворялись соотношения

символ Кронекера). При указанных условиях периодическое решение системы (40), отвечающее определенному решению уравнений (50), является асимптотически устойчивым при достаточно малых значениях если все корни алгебраического уравнения степени

имеют отрицательные вещественные части. При наличии хотя бы одного корня с положительной вещественной частью соответствующее решение неустойчиво, случай пулевых или чисто мнимых корней требует, как правило, дополнительного исследования.