Метод усреднения.

Этот метод первоначально возник при решении задач небесной механики. Основной прием метода усреднения заключается в том, что правые части сложных дифференциальных уравнений, описывающих колебания или вращения, заменяли «сглаженными», усредненными функциями, не содержащими явно времени и быстро изменяющихся параметров системы.

В теории нелинейных колебаний метод усреднения использовался в отдельных случаях в неявном виде (например, М. В. Остроградским для решения уравнения с кубической характеристикой и Ньютоном при нахождении формулы для периода колебаний маятника).

Широкое применение метод усреднения получил после популяризации Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси метода Ван-дер-Поля. Создание строгой теории метода усреднения принадлежит Н. Н. Боголюбову [11, 12], который показал, что этот метод органически связан с существованием некоторой замены переменных, позволяющей исключить время из правых частей уравнений с произвольной степенью точности относительно малого параметра 8. При эгом Н. Н. Боголюбов, исходя из физических соображений, указал, как строить не только систему первого приближения, но и усредненные системы высших приближений, решения которых аппроксимируют решения исходной (точной) системы с произвольной наперед заданной точностью.

Изложим мегод усреднения Н. Н. Боголюбова для уравнений в стандартной форме (уравнения, правые части которых пропорциональны малому параметру называют уравнениями в стандартной форме).

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в векторной форме

где малый положительный параметр; время; вектор -мерного евклидова пространства

Метод усреднения Н. Н. Боголюбова [11, 12] заключается в том, что при определенных условиях, налагаемых на правую часть векторного уравнения (122), с помощью замены

приводят уравнение (122) к эквивалентному

Пренебрегая в уравнении (124) слагаемым получаем усредненное уравнение приближения. Функции входящие в правую часть (123), находят элементарно; функции определяют в результате усреднения правой части уравнения (122) после подстановки выражения (123).

В первом приближении решение уравнения (122) есть где находят из усредненной системы

Здесь оператор усреднения по явно входящему времени

В первом улучшенном приближении

где определяют из (125), а знак обозначает операцию интегрирования по явно входящему времени.

Во втором приближении решение определяется выражением (126), но следует находить из усредненной системы второго приближения

Таким образом, уравнения (125) получают непосредственным усреднением правых частей исходного точного уравнения, а уравнения второго приближения (127) — подстановкой в точные уравнения формулы улучшенного первого приближения (126) и последующим усреднением по явно содержащемуся времени. При усреднении переменную считают постоянной и слагаемые высшего порядка отбрасывают.

Для эффективного построения приближенного решения необходимо предварительно решить уравнения первого или второго приближения (усредненные уравнения). Однако эти уравнения (так же, как и точные) являются дифференциальными, что накладывает определенные ограничения на возможность применения изложенного метода. В большинстве случаев усредненные уравнения, в особенности уравнения первого приближения, более простые и поддаются исследованию. Во многих случаях, в которых общее решение не удается получить, можно найти важные частные решения, например, соответствующие установившимся колебательным процессам. При уравнения первою приближения (125) интегрируются в квадратурах; при для их исследования может быть использована известная теория Пуанкаре. При любом если обращается в нуль в некоторой точке можем рассматривать квазистатическое решение уравнений первого приближения. Для исследования устойчивости этого решения можно поступать обычным образом, составив уравнения для малых отклонений (уравнения в вариациях)

Если все вещественные части корней характеристического уравнения

отрицательны, то рассматриваемое квазистатическое решение устойчиво. Всякое пешение уравнений первого приближения, исходящее из начального значения, достаточно близкого к 50, будет при экспоненциально приближаться к квазистатическому. Если хотя бы для одного из корней характеристического уравнения вещественная часть положительна, то квазистатическое решение неустойчиво. Может встретиться критический случай, когда все вещественные части равны нулю. Этот случай иногда можно свести к одному из двух предыдущих с помощью рассмотрения высших приближений.

Заметим, что метод усреднения получил дальнейшее развитие в работах Л. С. Понтрягина, А. Н. Тихонова, В. М. Волосова, Н. Д. Зубарева, Д. В. Аносова, Е. А. Гребеникова и др. (см. библиографию в [40]).

Пример. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля

Для приведения его к стандартному виду введем новые переменные с помощью следующей замены, Тогда уравнение Ван-дер-Поля приводим к системе

Усредняя правые части системы (128) по явио содержащемуся времени, в первом приближении получим где должны быть определены из уравнений первого приближения

Улучшенное первое приближение

Маятник с вибрирующей осью. Рассмотрим маятник с вибрирующей осью подвеса, представляющий собой твердое тело, которое может свободно вращаться в определенной вертикальной плоскости вокруг своей оси. Эта задача была рассмотрена Н. Н. Боголюбовым и им было установлено влияние частоты вибрации оси подвеса на устойчивость верхнего положения равновесия. Если ось подвеса совершает в вертикальном направлении синусоидальные колебания с малой амплитудой а и высокой частотой со так, что

где I — приведенная длина маятника, собственная частота колебаний, то неустойчивое верхнее положение равновесия маятника может перейти в устойчивое.

Движение маятника описывается уравнением

где

Для приведения этого уравнения к стандартному виду введем новые переменные с помощью формул

Тогда для новых переменных получим систему

и усредненные уравнения (в первом приближении)

Эти усредненные уравнения эквивалентны уравнению второго порядка

которое является усредненным по отношению к уравнению (129) и представляет собой уравнение колебаний системы, подобной маятнику с неподвижной точкой подвеса, у которой восстанавливающая сила пропорциональна не Усредненное уравнение (130) допускает квазистатическое решение соответствующее верхнему положению равновесия маятника. Для исследования устойчивости этого положения составим уравнение в вариациях для малых отклонений

Условие устойчивости имеет вид или

Таким образом, если частота вибрации оси маятника достаточно велика, т. е. полученное неравенство удовлетворяется, то верхнее положение маятника становится устойчивым.

Исследуя усредненные уравнения во втором приближении, Н. Н. Боголюбов установил еще ряд интересных явлений, например, получил условия, при которых маятник равномерно вращается вокруг оси с угловой скоростью, равной со [12]. Иными методами задачи о движении маятника с вибрирующей осью рассмотрены в гл. VIII и IX.