9. УСТОЙЧИВОСТЬ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОЛОСТЯМИ, СОДЕРЖАЩИМИ ЖИДКОСТЬ

Изложим иной подход к задаче об устойчивости стационарных движений и, в частности, равновесий твердых тел с полостями, частично или целиком заполненными идеальными или вязкими жидкостями, опирающийся на определение устойчивости и идеи, развитые Ляпуновым в теории устойчивости фигур равновесия вращающейся жидкости [8]. Установившимся движениям соответствуют стационарные значения потенциальной энергии или Задача об устойчивости установившихся движений сводится к исследованию характера экстремума потенциальной энергии II или Устойчивому движению соответствует минимум потенциальной энергии. Условия устойчивости (неустойчивости) установившихся движений в ряде важных случаев можно получить как достаточные условия определенной положительности (знакопеременности вместе с некоторыми дополнительными условиями) второй вариации потенциальной энергии или

Изложенную постановку задачи об устойчивости стационарных движений можно применять также для систем, содержащих упругие звенья. Постановка и метод решения задачи об устойчивости стационарных движений (равновесий) упругого тела с полостью, содержащей жидкость, даны в работе [26]. Приложения этой теории для ряда механических систем с упругими и жидкими элементами можно найти в работах [14, 16, 22, 23].

Определение устойчивости [13]. Рассмотрим некоторое установившееся движение системы, соответствующее стационарному значению измененной потенциальной энергии [см. (22)] при заданном значении постоянной площадей Без уменьшения общности допустим, что корпи уравнений ; при этом жидкость имеет форму относительного равновесия, ограниченную свободной поверхностью определяемой уравнением (25), и стенками полости.

С формой равновесия жидкости будем сравнивать ее форму в какой-либо момент возмущенного движения.

Рассмотрим какую-нибудь точку поверхности и наиболее близкую к ней точку поверхности Для некоторого положения точки на расстояние сделается самым большим из всех возможных для данного момента времени. Этот максимум I расстояния Ляпунов назвал удалением возмущенной поверхности жидкости от невозмущенной [8]. Кроме того, Ляпунов ввел в рассмотрение также уклонение у формы от формы принимая за последнее объем части формы находящийся вне формы При учете сил поверхностного натяжения помимо указанных величин введем в рассмотрение величину А разности площадей и свободной поверхности жидкости в возмущенном и невозмущенном движениях ; величину назовем наклонением.

Определение [13]. Если при всяком произвольно задаваемом положительном числе как бы мало оно ни было, может быть выбрано такое положительное число X, что при всяких начальных значениях координат и скоростей q тела, удаления наклонения уклонения и относительных скоростей жидкости удовлетворяющих условиям

и при всяком или по крайней мере до тех пор, пока

выполняются неравенства

то невозмущенное движение твердого тела с жидкостью устойчиво, в противном случае — неустойчиво.

Величину где фиксированное число, можно рассматривать как возможное уклонение жидкости [8]. Условие (65) связано с данным Ляпуновым определением устойчивости формы равновесия жидкости как такой формы, для которой после сообщения жидкости достаточно малых возмущений форма жидкости остается сколь угодно мало отличающейся от формы равновесия, по крайней мере до тех пор, пока на поверхности жидкости не образуются сколь угодно тонкие нитеобразные или листообразные выступы. Аналогичное явление имеет место и для двух-и трехмерного упругого континуума [34]. Это непроверяемое условие приходится вводить, ибо в противном случае из интеграла энергии (21) невозможно вывести заключение об устойчивости [8].

Отметим, что характеристики отклонения возмущенной формы от невозмущенной можно вводить по-разному, принимая за таковые другие величины, например 12 — нормы относительных смещений звеньев с распределенными параметрами.

Задача минимума [13, 19]. На основе известных теорем об устойчивости стационарных движений твердого тела с жидкостью [13, 25] задача об устойчивости невозмущенного движения, определяемого уравнениями (24), (25), приводится к задаче минимума измененной потенциальной энергии системы, для решения которой разработаны эффективные методы [13, 18, 19].

В обычных случаях вопрос о характере экстремума функционала решается исследованием его второй вариации вид которой зависит не только от самого функционала но и от выбора функций, характеризующих отклонение возмущенной формы сплошной среды от невозмущенной и удовлетворяющих определенным условиям. Если определенно положительна, то имеет минимум; если же может принимать отрицательные значения, то не имеет минимума. И лишь в особых случаях, когда неотрицательна, характер экстремума функционала определяется членами выше второго порядка.

Рассмотрим в окрестности невозмущенного движения системы, для которого область

где достаточно малая постоянная величина. Можно показать [13, 19], что если при данных фиксированных из области (67) свободная поверхность жидкости определяется уравнением (в случае пренебрежения поверхностным натяжением)

то имеет минимум. Для невозмущенного движения системы уравнение (68) принимает вид (25) при

При любой данной совокупности значений из области (67) твердому телу с жидкостью в его полости поставим в соответствие некоторое преобразованное твердое тело [13, 19], состоящее из данного твердого тела и затвердевшей жидкости со свободной поверхностью (68). Тогда для преобразованного твердого тела имеет минимум по сравнению со всеми возможными для жидкости достаточно близкими к (68) свободными поверхностями. С учетом этого обстоятельства задача о минимуме при сводится к задаче о минимуме функции конечного числа переменных Эта функция представляет собой выражение для преобразованных твердых тел.

Найдем изменение для преобразованного твердого тела при переходе от положения, соответствующего невозмущенному движению системы при к возмущенному положению в области (67). Этот переход можно осуществить в два этапа [13, 19]: 1) смещением в возмущенное положение всей системы как одного твердого тела; 2) деформированием формы жидкости в форму со свободной поверхностью (68). При этом приращения величин имеют вид

где приращения, соответствующие указанным двум этапам перехода системы из невозмущенного положения в возмущенное. С точностью до членов выше первого порядка малости

и с точностью до членов выше второго порядка малости

где нулевой индекс означает, что соответствующая величина вычисляется для невозмущенного положения системы,

Для вычисления введем систему координат жестко связанную с телом; ось в невозмущенном положении системы совпадает с осью Подынтегральную функцию в выражении для преобразованную к переменным обозначим через Уравнение свободной поверхности (68) затвердевшей жидкости в переменных имеет вид

Предположим, что уравнение (72) можно разрешить однозначно относительно одной из переменных пусть относительно для этого достаточно, чтобы на поверхности Обозначим через проекцию на плоскость х, у свободной поверхности жидкости (72), ограниченной стенками полости. Уравнение поверхности (68) в переменных принимает вид

где постоянная определяется из условия равенства объемов жидкости со свободными поверхностями (72) и (73). Это условие в первом приближении приводит к уравнению

где значения соответственно для поверхностей (72) и (73), а вместо введена переменная [18] , при этом с точностью до малых первого порядка

так как в первом приближении функции отличаются лишь на слагаемое

Далее, с точностью до членов первого порядка малости имеем

Уравнения (74) и (76) с учетом (75) позволяют определить как функции

Таким образом, находим

По формуле (69) с учетом (70), (71), (76), (77) и № можно представить в виде квадратичной формы переменных Условия определенной положительности последней будут достаточными условиями минимума для твердого тела с полостью, содержащей жидкость, в поле внешних сил с потенциальной энергией

При учете поверхностного натяжения задача о минимуме функционала становится более сложной, однако и здесь при определенных условиях ее удается иногда свести к задаче о минимуме для функции конечного числа переменных [28, 29]. В этом случае

где линейный оператор; функция вида функции координатных параметров поверхности квадратичная форма переменных Функция I должна удовлетворять условиям

где орты нормали к поверхности и внешней нормали к контуру поверхности функция точки контура Явный вид оператора и функций приведен в работах [25, 29].

Для определенной положительности необходимо, чтобы оператор был определенно положительным. Пусть это условие выполнено. Рассмотрим первые два члена второй вариации считая их квадратичным функционалом по I с параметрами Этот функционал имеет минимум, который реализуется функцией являющейся решением уравнения с граничным условием из (78), при этом значение постоянной определяется из условия изопериметричности (78). Функция будет линейной функцией так как таковой является функция а искомый минимум, равный будет квадратичной формой от Тогда распадается на две части [28, 29], т. е.

и для ее определенной положительности достаточно потребовать определенной положительности оператора и квадратичной формы

Пример. Устойчивость вращения вокруг неподвижной точки тяжелого твердого тела с полостью, содержащей жидкость [13]. Для рассматриваемой механической системы без учета сил поверхностного натяжения жидкости потенциальная энергия и момент инерции относительно вертикали хпроходящей через неподвижную точку О тела, определяются формулами

где ускорение свободного падения, Соответственно координаты центра тяжести и моменты инерции и произведения инерции тела с жидкостью в осях координат .

Уравнения вида (24) допускают решение

если при произвольной постоянной величине выполняются условия

Если жидкость частично заполняет полость, то ее свободная поверхность (25) имеет форму параболоида

Рассмотрим сначала случай, когда полость целиком заполнена жидкостью. Тогда условия минимума приводятся к неравенству

и имеют точно такой же вид, как и для тела с затвердевшей жидкостью,

Перейдем теперь к случаю неполного заполнения полости жидкостью. Оси х совместим с главными осями инерции твердого тела для точки О. Прежде всего рассмотрим случай соответствующий равновесию системы. Свободной поверхностью жидкости в положении равновесия является часть плоскости ограниченная стенками полости. Условия минимума сводятся к неравенству [13]

где моменты инерцни площадки для осей, параллельных осям и проходящих через центр инерцни площадки

Сопоставление условия (82) с условием устойчивости равновесия тела с затвердевшей жидкостью, свободная поверхность которой совпадает с плоскостью показывает, что наличие в полости тела жидкости со свободной поверхностью оказывает на устойчивость равновесия системы дестабилизирующее влияние.

Теперь рассмотрим случай со Для простоты примем, что область представляет собой кольцо, ограниченное окружностями с центрами на оси и радиусами Условия минимума в этом случае сводятся к неравенству

Сопоставление условия (83) с условием типа (81) устойчивости равномерного вертикального вращения твердого тела с жидкостью в его полости в случае, когда жидкость накрыта недеформируемой параболической крышкой, задаваемой уравнением (80), показывает, что наличие свободной поверхности жидкости оказывает дестабилизирующее влияние и на устойчивость стационарного вращения системы.

Поверхность параболоида (80) при большой угловой скорости со мало отличается от поверхности кругового цилиндра и в пределе при совпадает с последней. Рассмотрим этот предельный случай, имеющий место для невесомой жидкости. Предположим, что цнлнндр пересекается со стенками полости по окружностям с центрами на оси в точках с координатами Условия минимума в этом случае сводятся к неравенству [13]

Рассмотрим теперь эту же задачу при учете сил поверхностного натяжения жидкости [29]. Будем считать, что поверхность стенок полости является поверхностью вращения с профилем, задаваемым уравнением Пусть уравнение свободной поверхности жидкости в невозмущенном движении, определяемой из уравнения (25) с граничным условием (10). Достаточные условия определенной положительности имеют вид

где радиус окружности, по которой поверхность пересекается с поверхностью стенок полости; постоянная, представляющая собой минимум квадратичного функционала,

Для цилиндрической полости имеем При отсутствии поверхностного натяжения получаем и первое из условий (85) совпадает с (81).

При равновесии тела с жидкостью первое из условий (85) принимает вид а При расчете параметров такого физического маятника нужно стараться выбирать их так чтобы величина а была достаточно большой, так как чем больше а, тем в большем диапазоне могут изменяться физические и конструктивные величины без нарушения устойчивости.

Пусть параметры таковы, что свободной поверхностью жидкости является часть плоскости В этом случае

где модифицированные функции Бесселя.

Отсюда следует, что с ростом а величина растет, если Если же то с ростом а величина уменьшается до тех пор, пока не превысит критического значения При свободная поверхность жидкости становится неустойчивой [29].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)