О практическом использовании изложенных общих результатов и построении периодических решений в виде рядов по малому параметру.

Использование изложенных выше теорем позволяет получить условия существования и устойчивости периодических решений, а также полностью определить соответствующее порождающее приближение. При решении многих прикладных задач этого оказывается вполне достаточным. Поэтому рассмотрим вначале технические трудности, связанные с построением функций

Прежде всего для составления этих функций необходимо найти функции образующие независимых периодических решении системы (49), сопряженной с системой в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, необходимо знать общее решение системы в вариациях, т. е. системы линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами. Но общих методов решения таких систем не существует. Поэтому для доведения решения задачи до конца желательно вводить малый параметр так, чтобы было известно не только периодическое, но и общее решение порождающей системы. В этом случае систему из независимых частных решений уравнений в вариациях легко найти согласно теореме Пуанкаре путем дифференцирования по параметрам. Достаточным является и знание решения порождающей системы, зависящего параметров, так как при наличии независимого частного решения системы с периодическими коэффициентами еще одно решение можно определить с помощью квадратур.

Принципиальных трудностей не возникает, если порождающая система представляет собой систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами (см. ниже) или систему, которая приводится к таковой.

В ряде случаев функции могут быть определены непосредственно по порождающему решению без предварительного нахождения общего решения уравнений в вариациях (46). К таким случаям относятся следующие [38]:

а) система в вариациях (46) является самосопряженной, т. е. выполняются соотношения Тогда функции удовлетворяющие равенствам (53), можно искать в виде линейных комбинаций функций определяемых непосредственно по порождающему решению;

б) исходная система уравнений (40) близка к канонической, т. е. может быть представлена в форме

где Тогда система (49) имеет периодических решений вида

также определяемых непосредственно по порождающему решению; линейные комбинации этих решений могут быть использованы для построения функций Удовлетворяющих равенствам (53);

в) для порождающей системы известны первые интегралы число которых равно числу параметров входящих в порождающее решение, причем являются -периодическими функциями При этом функции образуют периодических решений сопряженной системы, которые также могут быть использованы для построения функций

После того как выражения для функций получены, исследование сводится к решению уравнений (50) или (59) и к обычной задаче Гурвица для алгебраических уравнений (54) или (60).

Остановимся на вопросе о вычислении коэффициентов рядов (42), т. е. периодических решений уравнений (43) и (44); рассмотрим вначале случай неавтономной системы. Если параметры порождающего решения найдены из уравнений (50), то -перподическое решение уравнений (43) непременно существует и имеет вид

где произвольные постоянные; периодические решения уравнений в вариациях, определяемые согласно (48); периодическое частное решение уравнений (43).

Необходимые и достаточные условия существования -периодического решения уравнений (44) получатся из уравнений (50), если заменить в них функции на

При получим уравнения для определения постоянных

Очевидно, если функции т. е. первые приближений, уже вычислены и оказались периодическими, то функции будут иметь вид периодическое частное решение уравнений (44) при постоянные, которые определяются из условий типа (50), обеспечивающих существование -периодического приближения. Заметим, что система алгебраических уравнений для нахождения постоянных является линейной, причем ее определитель совпадает с (51).

Таким образом, для фактического построения рядов (42) необходимо найти периодические решения систем неоднородных линейных уравнений с периодическими коэффициентами, однородная часть которых совпадает с уравнениями в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, требуется знание общего решения указанных уравнений в вариациях. Однако, поскольку в данном случае нас интересует не вычисление основных частей искомого решения, которые определяются порождающим приближением, а поправочных членов, то можно воспользоваться каким-нибудь известным приближенным методом нахождения периодических решений, не требующим интегрирования однородной системы (46).

Для автономной исходной системы заменой независимой переменной изучение периодических решений уравнений (55) с неизвестным периодом сводится к изучению периодических решений с периодом Этот случай имеет ту особенность, что наряду с постоянными из условий периодичности соответствующего приближения одновременно находится поправка к периоду искомого решения.