Интегральный критерий устойчивости периодических решений.

При определенных условиях результатам, приведенным выше, можио придать форму, удобную как при решении конкретных задач, так и при изучении общих закономерностей [7]. Пусть функции вещественны и существует функция параметров порождающего решения, имеющая непрерывные частные производные до второго порядка включительно, и такая, что

Для существования этой функции, называемой потенциальной функцией, необходимо и достаточно выполнение соотношений Из равенства (65) следует, что уравнения для определения порождающих параметров а совпадают с условиями стационарности функции нетрудно показать также, что условия строгого минимума функции основанные на анализе членов второго порядка в разложении этой функции вблизи стационарной точки, совпадают с условиями устойчивости периодических решений (соответствующие минимумы назовем грубыми). Иными словами, в задаче о существовании и устойчивости периодических движений функцня играет же роль, как и потенциальная энергия в задаче о положениях равновесия консервативной системы, т. е. при существовании функции результаты, приведенные выше, являются аналогами известных теорем Лагранжа-Дирихле и А. М Ляпунова [35, 37]

Свойства потенциальной функции сохраняются, если она удовлетворяет не условиям (65), а значительно менее жестким соотношениям

или

где любые вещественные числа, такие, что матрице соответствует положительная квадратичная форма.

Значение интегрального критерия определяется тем, что в ряде случаев потенциальная функция имеет определенный физический смысл. Например, в ряде задач о синхронизации динамических систем (см. гл. VIII) она равна среднему за период значению функции Лагранжа системы, взятой с противоположным знаком и вычисленной для порождающего решения [7]. Кроме того, в условиях справедливости интегрального критерия условия устойчивости могут быть записаны в явной форме, ибо согласно критерию Сильвестра условия минимума функции сводятся к требованию положителыюсти всех главных миноров матрицы