2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ, СОДЕРЖАЩИМИ ЖИДКОСТЬ

Уравнения движения свободного твердого тела, имеющего замкнутую полость произвольной формы, целиком или частично заполненную однородной несжимаемой идеальной или вязкой жидкостью плотности . С телом жестко свяжем прямоугольную декартову систему координат Обозначим через область пространства занятую жидкостью в данный момент времени, через границу области а через а — поверхность стенок полости. Если жидкость полностью заполняет полость, то совпадает с частичном наполнении поверхность состоит из свободной поверхности жидкости и части поверхности с которой жидкость соприкасается в данный момент времени, где часть поверхности не соприкасающаяся в данный момент с жидкостью; остальная часть полости или заполнена воздухом, ограниченным поверхностью давление которого считаем постоянным, а его массой пренебрегаем, или представляет собой вакуум с давлением Замкнутую линию пересечения поверхностей обозначим через

Тело и жидкость в его полости можно рассматривать как одну механическую систему и изучать ее движение по отношению к инерциальной системе координат

Кинетическая энергия системы

где здесь соответственно массы, тензоры инерции для точки О и векторы-радиусы относительно точки О центров масс системы, тела и жидкости; — векторы скорости точки О, угловой скорости тела и скорости частицы жидкости при ее движении по отношению к твердому телу; вектор-радиус относительно точки О частицы жидкости с координатами

Векторы количества движения и момента относительно точки О количеств движения системы определяются формулами [13]

где соответственно масса, вектор-радиус относительно точки О и скорость материальной точки системы; суммирование происходит по всем точкам системы.

Уравнения движения, записанные в системе координат имеют вид [13]

где соответственно главный вектор и главный момент относительно точки О всех приложенный к системе активных сил; вектор массовой силы, отнесенной к единице массы жидкости; гидродинамическое давление; кинематический коэффициент вязкости; коэффициент вязкости (для идеальной

жидкости оператор Лапласа; вектор абсолютной скорости частицы жидкости.

К уравнениям (5), (6) следует добавить граничные условия

где орт внешней нормали к поверхности вектор напряжения жидкости для площадок, касательных к поверхности — главные радиусы кривизны поверхности определяемой уравнением коэффициенты поверхностного натяжения на границах жидкость — воздух, тело — жидкость и тело — воздух; краевой угол в точках контура равный углу между ортами внешних нормалей к контуру поверхностей расположенными в касательных плоскостях к этим поверхностям.

В случае идеальной жидкости и граничные условия (7) и (8) заменяются условиями

где проекция вектора относительной скорости жидкости на нормаль к поверхности С.

Если поверхностным натяжением можно пренебречь, будем полагать равными нулю; при этом условие (10) выпадает, а условия (8) и (12) принимают соответственно вид

Если жидкость целиком заполняет полость, то имеем лишь одно граничное условие (7) или (11). В этом случае за начало подвижных осей удобно принять центр инерции системы, тогда уравнения движения (3) и (4) принимают более простой вид

Активные силы, действующие на систему, в общем случае могут зависеть не только от положений и скоростей точек системы и времени, но и от некоторых параметров. В этом случае к уравнениям движения надо добавить также кинематические уравнения для названных параметров и рассматривать совместно полученную полную систему уравнений.

Уравнения движения (3) — (6) представляют собой совместную систему обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Решения этой системы уравнений будут содержать произвольные функции и произвольные постоянные, которые определяются из граничных и начальных условий. Начальные условия состоят обычно в том, что задаются положение, скорости твердого тела, форма свободной поверхности и поле скоростей жидкости в начальный момент

Уравнения движения несвободного тела. Уравнения движения твердого тела с жидкостью, стесненного голономными идеальными связями, можно представить также в форме уравнений Лагранжа.

Положение системы будем определять лагранжевыми координатами тела и декартовыми координатами частиц жидкости. Векторы можно представить в виде линейных функций обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими от обобщенных координат Подставив эти выражения в формулу (1), получим

где кинетическая энергия тела и плотность кинетической энергии жидкости.

Обозначим через обобщенные силы, соответствующие координатам тогда уравнения Лагранжа движения твердого тела с жидкостью в его полости запишутся в виде [13]

К этим уравнениям следует добавить уравнение несжимаемости (6), а также граничные и начальные условия, Уравнения (17) лишь по форме отличаются от гидродинамических уравнений Навье-Стокса (5).

Интегралы уравнений движения. Предположим, что на твердое тело наложены голономные стационарные связи, а активные силы, приложенные к системе, являются потенциальными, не зависящими явно от времени. Потенциальную энергию системы можно представить в виде

где — потенциальная энергия активных сил, приложенных к твердому телу; потенциальная энергия действующих на жидкость массовых сил, отнесенная к единнце массы жидкости; потенциальная энергия сил поверхностного натяжения. Используя теорему о кинетической энергии системы, приходим к уравнению 113]

где знак суммирования с символом (1, 2, 3) означает, что два других слагаемых получаются из написанного круговой перестановкой индексов 1, 2, 3. Равенство возможно лишь в случае движения жидкости как твердого тела.

Если жидкость идеальная то из уравнения (18) получаем интеграл энергии

Из теоремы о моменте количеств движения следует, что если наложенные связи допускают вращение твердого тела вокруг неподвижной оси, а активные силы не дают относительно нее момента, то проекция момента количеств движения системы наэту ось остается постоянной. Принимая указанную ось за ось системы а в качестве угол поворота тела вокруг оси получаем интеграл площадей в виде

где момент количеств движения системы для точки орт оси х.

Рассмотрим систему координат вращающуюся вокруг оси с некоторой угловой скоростью Обозначим через соответственно кинетическую энергию, момент количеств движения относительно оси и скорость жидкости при движении системы относительно осей Тогда интегралы (19) и (20) примут вид [13]

где момент инерции системы относительно оси Угловая скорость со вращения осей координат может быть задана произвольно. При исследовании стационарных движений системы величину со условимся выбирать таким образом, чтобы в любой момент времени имело место равенство — или, что то же, тогда интеграл энергии можно представить в виде

Уравнения стационарных движений. Пусть связи допускают вращение тела вокруг оси и активные силы не дают момента относительно этой оси, тогда система может совершать равномерное вращение вокруг оси с угловой скоростью как одно твердое тело. Такие движения называют стационарными или установившимися.

Рассмотрим измененную потенциальную энергию системы

где значение постоянной площадей при равномерном вращении системы. Выражение для зависит от формы жидкости и тех координат тела от которых зависят

Для установившегося движения системы имеет экстремальное (стационарное) значение, для которого [13]

Условие (23) приводит к уравнениям

для координат твердого тела в установившемся движении системы, а также к уравнениям для давления в жидкости, из которых следует условие

для определения свободной поверхности жидкости в этом движении при частичном заполнении полости; значение постоянной с определяется количеством жидкости в полости.

В случае, когда среди звеньев системы содержатся упругие тела, к уравнениям (3) — (6) или (16), (17) необходимо добавить соответствующие уравнения теории упругости для упругих звеньев системы, а также граничные и начальные условия. Тогда в интегралах энергии (19), (21) появятся добавочные члены, обусловленные упругой деформацией элементов системы. При этом соотношение (23) служит для определения стационарных движений [26].