8. КОСОЙ УДАР

Уравнения (1) и (2) записаны в предположении, что удар звеньев является прямым и центральным, так что их скорости при ударе изменяются только по величине. Однако динамический анализ ВУС часто не сдается ограничить изучением одномерной модели, поскольку взаимодействия звеньев ВУС миут сопровождаться не

(см. скан)

(см. скан)

центральными, а косыми ударами [24, 26]. Рассмотрение таких режимов, помимо использования коэффициента восстановления нормальной к поверхностям контакта звеньев составляющей скорости удара, требует дополнительных предположений, позволяющих оценить изменение тангенциальной составляющей этой скорости. При расчетах двумерных ВУС с учетом косых ударов применяют две гипотезы, которые условно называют гипотезами вязкого и сухого трения при косом ударе.

Рис. 15

Рассмотрим материальную точку падающую под углом а на неподвижную плоскость (на рис. 15 показаны доударная и и послеударная и скорости точки Согласно обеим гипотезам нормальные составляющие скорости до и после удара связаны соотношением

а тангенциальные составляющие согласно гипотезе вязкого трения связаны зависимостью

где X — коэффициент мгновенного трения при ударе.

Уравнение (65), как и (64), устанавливает линейную связь между доударными и послеударными компонентами скоростей. Согласно (65) тангенциальная составляющая ударного импульса не зависит от величины его нормальной составляющей и определяется коэффициентом X, зависящим от свойств и состояния соударяющихся поверхностей, а также относительной скоростью скольжения, подобно тому как сила сопротивления при вязком трении пропорциональна скорости движения тела.

Вторая гипотеза строится на предположении, что тангенциальная составляющая ударного импульса пропорциональна его нормальной составляющей. Коэффициент пропорциональности равен коэффициенту сухого трения, т. е.

Знак или выбирается противоположным знаку их с учетом того, что ударные взаимодействия всегда приводят к уменьшению относительной скорости движения соударяющихся тел. Уравнение (66) связывает нормальную и тангенциальную составляющие ударного импульса подобно тому, как законом сухого трения (законом Кулона) связаны сила нормального давления и сила трения. В основе второй гипотезы лежит предпосылка о том, что соударяющиеся поверхности взаимодействуют по закону сухого грения и что это взаимодействие (оцениваемое коэффициентом остается одним и тем же как при немгновенных, так и при мгновенных силах.

Соотношение (66) применимо, если оно дает значение, совпадающее по знаку с их. Иначе следует принять

считая, что отскок происходит по нормали к поверхности. Послеударные скорости при гипотезах вязкого и сухого трения различны. Координаты векторов и и V можно записать так (см. рис. 15):

В предположении гипотезы вязкого трения

В случае удара абсолютно упругих и абсолютно гладких тел угол падения равен углу отражения По (68) на рис. 16, а для ряда значений X при построены зависимости величины угла отражения от угла падения.

В предположении гипотезы сухого трения

При малых углах падения, для которых

по (69) получаются отрицательные значения и согласно (67) следует принять считая, что отскок происходит по нормали к поверхности. Зависимости при различных значениях представлены на рис. 16, б

Рис. 16

Рис. 17

Для полной определенности движения точки после косого удара необходимо кроме величины угла отражения знать еще и величину послеударной скорости. Независимо от того, какая из двух гипотез косого удара принята,

и различие в величинах по обеим гипотезам полностью обусловлено различием углов отражения при одинаковом угле падения. На рис. представлены зависимости и I от угла падения а соответственно для гипотез вязкого и сухого трения при косом ударе

Движение материальной точки зависит от принятой гипотезы не только при единичном косом ударе. Если ее бросить под некоторым углом к горизонтальной плоскости и проследить за движением, обусловленным силой тяжести и сопровождающимся рядом косых ударов, то применение гипотезы вязкого трения приводит к тому, что горизонтальная составляющая скорости асимптотически (с ростом числа ударов) убывает, стремясь к нулю, независимо от начального угла падения. Гипотеза сухого трения приводит к другому результату. В зависимости от начального угла падения горизонтальная составляющая скорости либо обращается в нуль после некоторого конечного числа ударов, либо убывает, стремясь к некоторой отличной от нуля величине.

Картина косого удара существенно зависит от принятой гипотезы удара и от физических констант — коэффициентов восстановления скорости, мгновенного трения, сухого трения, знание которых необходимо для применения той или иной гипотезы. Определение этих константтребует экспериментальных исследований; известно, что они зависят от материалов, из которых изготовлены элементы ударной пары, от формы этих элементов, от состояния поверхностей и от ряда других факторор, влияние которых до сих пор достаточно не изучено.

Значения коэффициентов мгновенного трения в справочниках обычно не приводятся. Эти обстоятельства существенно затрудняют расчеты ВУС, работающих в условиях косых соударений.

Рис. 18

Проиллюстрируем применение уравнений косого удара (64) — (67) для расчета режимов движения двумерных ВУС на примере тяжелой материальной точки массы ударяющейся о вибрирующую плоскость, наклоненную под углом а к горизонту (на рис. 18 показаны основные обозначения и выбранная система координат). Эта динамическая модель лежит в основе расчета ряда процессов виброперемещения (см. гл. IX, а также [11, 18, 27]).

Согласно уравнению (64), определяющему изменение нормальной составляющей скорости при ударе, закон движения точки вдоль оси у не зависит от ее перемещений вдоль оси х. Поэтому при где фаза соударения, закон для одноударного периодического режима определяется соотношениями, приведенными в п. 1 табл. 1, где параметр необходимо принять равным проекции а ускорения свободного падения на ось у. Величина в табл. 1 представляет собой нормальную составляющую

ударного импульса. Закон движения точки не периодический, поэтому условия периодичности записывают для скоростей

Приняв гипотезу вязкого трения при ударе и записав уравнение (65) для тангенциальных составляющих относительных скоростей

получаем из (72) и (73):

где средняя скорость виброперемещения точки. Согласно (74) транспортирование точки вверх по наклонной плоскости возможно при любом угле наклона а, если скорость в момент удара достаточно велика,

Независимо от того, какую гипотезу удара используют, из (71) и (72) следует

Если принять гипотезу сухого трения при ударе, то при

тангенциальная составляющая относительной скорости точки после удара определяется условием

Из сопоставления (73) и (78) следует, что формулы (74) и (75) справедливы и для гипотезы сухого трения при ударе, если положить При а, не удовлетворяющих (77), периодический виброударный режим в предположении гипотезы сухого трения невозможен.