4. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Параметрические колебания в линейных системах рассмотреный т. 1, гл. VII. В табл 4 приведены некоторые физические модели нелинейных систем с одной степенью свободы и параметрическим возбуждением, уравнение движения для которых приводится к виду
или
где 
параметрическое возбуждение. В дальнейшем предполагаем, что это возбуждение является периодической функцией времени и не содержит постоянной компоненты Кроме того, считаем, что параметрическое возбуждение является слабым, так что 
Таблица 4 (см. скан)
Если это условие не выполняется, то изложенные ниже методы приближенного исследования параметрических колебаний оказываются неприменимыми. При 
уравнения (59) и (60) совпадают с (1), поэтому
В уравнении (60) параметрически возбуждается только линейная часть восстанавливающей силы.
Уравнения (59) и (60) имеют решение 
соответствующее положению равновесия системы Как и в линейных системах, параметрическое возбуждение может вызвать неустойчивость этого положения равновесия и появление колебательного процесса, называемого параметрическим резонансом. Однако, в отличие от линейных систем, параметрические колебания нелинейной системы обычно оказываются ограниченными по амплитуде, в системе устанавливается некоторый периодический процесс
Исследование параметрических колебаний в системах (59) и (60) сводится:
а) к определению условий неустойчивости положения равновесия и возбуждения параметрического резонанса;
б) к определению стационарных (периодических) решений уравнений движения. Вопрос об устойчивости положения равновесия 
решается исследованием линеаризованного уравнения движения
которое представляет собой уравнение Хилла. При этом предполагаем, что 
Методы исследования устойчивости с помощью уравнения Хилла рассмотрены в т. 1, гл. VII. В частности, там показано, что при изменении параметра 
в уравнении (61) от 
до 
зоны устойчивости нулевого решения чередуются с зонами неустойчивости. Последние располагаются вблизи значений
а их ширина зависит от общего уровня параметрического возбуждения и от амплитуды гармоник в разложении возбуждения в ряд Фурье:
Пусть значение 
в уравнении (61) соответствует первой зоне неустойчивости; тогда приближенные периодические решения уравнений (59) и (60), соответствующие установившимся параметрическим колебаниям, следует искать в форме
причем параметры 
связаны между собой соотношением
или
Амплитуду а периодического решения уравнения (59) находят из уравнения
где 
квадрат частоты свободных колебаний консервативной системы, определяемый по формуле (10), а 
эквивалентный коэффициент сопротивления [см. 
амплитуда первой гармоники параметрического возбуждения
При вязком трении
Если
то уравнение (68) не имеет вещественных решений. Это означает, что параметрическое возбуждение недостаточно для возбуждения параметрических колебаний системы и подавляется диссипативными силами.
Амплитуду периодического решения уравнения (60) определяют из уравнения
При вязком трении
Если
то параметрические колебания в системе не возбуждаются.
Если значение 
в уравнении (61) лежит в 1-й зоне неустойчивости, то приближенное периодическое решение следует искать в форме
Амплитуда а периодического решения уравнения (59) определяется из уравнения
а амплитуда периодического решения уравнения (60) — из уравнения
Уравнения (67), (70), (74) и (75) имеют два решения (соответствующие знакам 
и — в этих уравнениях). Одно из этих решений является устойчивым.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(см. скан)
