3. ПОНЯТИЯ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ, ГРУБОСТИ, ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

Проблемы устойчивости и чувствительности механических систем возникают в связи с неизбежными отклонениями (возмущениями) начальных условий, параметров внешнего возбуждения и параметров самой системы от их номинальных невозмущенных значений. Обычно в реальных условиях ставят требование достаточной малости влияния таких отклонений на номинальные свойства системы и ее движение.

В зависимости от свойств системы ее невозмущенное (номинальное) состояние может оказаться устойчивым или неустойчивым; последнее не может быть практически реализовано.

Одна из существенных особенностей нелинейных механических систем — возможная многозначность решений, т. е. формальная возможность существования

нескольких решений, описывающих состояние системы при заданных значениях ее параметров. Не все эти состояния осуществимы, поскольку некоторые из них могут быть неустойчивыми. Поэтому возникает проблема отбора действительно реализуемых (устойчивых) состояний системы.

Параметры механической системы практически никогда не бывают точно известными, а иногда могут случайным образом меняться с течением времени. Если общие свойства системы мало изменяются при малом изменении параметров и эти изменения носят лишь количественный характер, то такую систему называют структурно устойчивой (по терминологии, введенной А. А. Андроновым и Понтрягиным, грубой). Если малое изменение какого-либо параметра приводит к качественному изменению характера состояния системы, то ее называют структурно неустойчивой (негрубой). Таким изменениям соответствуют принципиальные изменения (бифуркация) структуры фазового пространства — появление новых положений равновесия (особых точек), предельных циклов и т. д. Значение параметра называют бифуркационным, если существуют сколь угодно близкие к нему значения параметра, при которых структура фазового пространства качественно отличается от структуры при

При изменении параметров грубой механической системы меняются количественные характеристики ее движения (например, размахи колебаний, частоты и т. д.); оценка быстроты изменения этих характеристик составляет задачу определения чувствительности системы к изменению параметров, которую решают с помощью построения и исследования функции чувствительности. В простейшем случае под функцией чувствительности понимают производную по параметру некоторой величины, характеризующей состояние системы. Для негрубых систем функция чувствительности может принимать бесконечные значения.

Определение устойчивости по Ляпунову и некоторые другие определения устойчивости. Состояние произвольной механической системы с степенями свободы определяется переменными (обобщенные координаты и скорости) и описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производных

Переменные называют фазовыми координатами.

Движение системы, исследуемое на устойчивость и отвечающее определенным начальным условиям называют невозмущенным. Невозмущенному движению соответствует определенное частное решение системы (19)

Движение системы, соответствующее измененным начальным условиям называют возмущённым, а величины начальными возмущениями.

Переходя к новым переменным

уравнения (19) можно привести к виду

Уравнения (22) называют уравнениями возмущенного движения, а величины возмущениями. Для сокращения записи совокупность всех возмущений х, часто обозначают одной буквой х, а совокупность всех функций ; — буквой X, так что уравнения (22) могут быть представлены в виде

Обычно предполагают, что правые части этих уравнений удовлетворяют всем условиям существования и единственности решения в области

Кроме того, согласно (22), выполняются условия

Для стационарных решений автономных систем, т. е. для решений вида дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид

Невозмущенное движение называют устойчивым по Ляпунову, если для всякого положительного числа как бы мало оно ни было, можно найти такое число что для всех возмущенных движений, удовлетворяющих условию и при всех будет выполняться неравенство

Если при выполнении условий устойчивости выполняется также условие при то невозмущенное движение называют асимптотически устойчивым.

Движение, устойчивое по Ляпунову, в фазовом пространстве можно представить следующим образом: изображающая точка начав свое движение из точки расположенной внутри или на поверхности сферы радиуса все время остается внутри сферы радиуса т. е. фазовая траектория, начинающаяся внутри сферической области радиуса никогда не достигает сферы радиуса в (рис. 9). Если движение асимптотически устойчиво, то любая траектория, начинающаяся в сферической области радиуса неограниченно стремится к началу координат, не выходя за границу сферы радиуса Если движение неустойчиво, то внутри области радиуса всегда найдется такая точка что фазовая траектория, начинающаяся в этой точке, за конечное время достигнет сферы радиуса

В определении устойчивости по Ляпунову предполагается, что возмущенное движение происходит под действием тех же внешних сил, что и невозмущенное. Если из-за недостаточности информации невозможно учесть все внешние силы, действующие на систему, то рассматривают задачу об устойчивости при постоянно действующих (сопровождающих) возмещениях. В этом случае дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид

Невозмущенное движение, определяемое уравнениями (22), называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если для любого положительного числа с, как бы мало оно ни было, существуют два других положительных числа таких, что всякое решение уравнений (26), удовлетворяющее при неравенству удовлетворяет при неравенству каковы бы ни были функции удовлетворяющие условиям

Для наличия устойчивости по Ляпунову достаточно существование области начальных отклонений (хотя бы сколь угодно малой), по отношению к которым невозмущенное движение устойчиво,

Устойчивости (асимптотической устойчивости) движения по отношению к начальным отклонениям, лежащим в конечной области, соответствует понятие об устойчивости в большом.

Асимптотической устойчивости движения по отношению к любым начальным отклонениям соответствует понятие об асимптотической устойчивости в целом.

Областью притяжения асимптотически устойчивого режима называют часть фазового пространства, удовлетворяющую следующему условию: любая начавшаяся в этой области фазовая траектория с течением времени приближается к началу координат, соответствующему исследуемому режиму. Областью притяжения асимптотически устойчивого движения в целом является все фазовое пространство.

Нелинейные консервативные колебательные системы обычно не бывают асимптотически устойчивыми. Любое сколь угодно малое изменение начальных условий приводит к изменению размаха и, следовательно, периода колебаний такой системы (см. с. 28 и гл. поэтому изображающая точка, соответствующая возмущенному движению, не колее оставаться в сколь угодно малой окрестности изображающей точки невозмущенного движения. Однако фазовые траектории возмущенного и невозмущепного движений остаются близкими одна к другой. Для движений такого вида вводится понятие орбитальной устойчивости.

Рис. 9

Невозмушенное движение называется орбитально устойчивым, если для любого положительного числа как бы мало оно ни было, можно найти такое положительное число при котором любая фазовая траектория, начинающаяся при в -окрестности фазовой траектории невозмущепного движения, не выходит из е-окрестности этой траектории при любом Если, кроме того, фазовая траектория возмущенного движения при асимптотически приближается к траектории невозмущенного движения, то такое движение называют асимптотически орбитально устойчивым

Асимптотически орбитально устойчивые движения могут существовать лишь в неконсервативных нелинейных системах (например, в автоколебательных).

Функции Ляпунова. При исследовании устойчивости так называемым прямым методом Ляпунова вводят в рассмотрение непрерывные и однозначные в области (23) функции фазовых координат и времени удовлетворяющие условию

Функция называется знакопостоянной, если при достаточно большом и достаточно малом она может принимать в области (23) кроме нулевых значения только одного знака. Если знакопостоянная функция V не зависит от и при достаточно малом обращается в нуль только при нулевых значениях фазовых координат в области (23), то такая функция называется знакоопределенной (положительно или отрицательно определенной).

Функцию V, зависящую явно от называют положительно определенной, если области (23) при достаточно большом и достаточно малом она удовлетворяет неравенству

где не зависящая от положительно определенная функция, В противоположном случае, когда функция удовлетворяет условию

ее называют отрицательно определенной.

Можно доказать, что если знакоопределенна, то существует такое число при котором все поверхности являются замкнутыми вокруг точки О при Если положительно определенная функция V явно зависит от то поверхность уровня трансформируется с течением времени, однако при соответствующем выборе С все время остается внутри замкнутой поверхности (рис. 10), где положительно определенная функция, не зависящая явно от Когда в области (23) значения не превосходят некоторого конечного числа, функцию V называют ограниченной. Говорят, что такая функция допускает бесконечно малый высший предел, если для любого положительного числа I можно найти другое положительное число такое, что при выполнении условий

будет выполняться неравенство

Рис. 10

Иначе V допускает бесконечно малый высший предел, если она стремится к нулю при равномерно по Этому условию удовлетворяет всякая непрерывная не зависящая от функция Например, функции являются ограниченными, но лишь первая из них допускает бесконечно малый высший предел.

Общих критериев знакоопределенности и знакопеременности не существует. Однако в задачах устойчивости часто встречаются квадратичные формы переменных знакоопределенность или знакопеременность которых устанавливают с помощью критерия Сильвестра.

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы ее коэффициентов были положительны

Необходимое и достаточное условие отрицательной определенности формы записывают в виде неравенств т. е. знаки определителей должны последовательно чередоваться, причем должен быть отрицательным.

При исследовании устойчивости прямым методом Ляпунова изучают поведение функций [или вдоль траекторий дифференциальных уравнений возмущенного движения (22). Для этого кроме самой функции V вводят в рассмотрение ее

полную производную по времени, вычисленную в предположении, что аргументы и их производные удовлетворяют уравнениям (22) возмущенного движения

Такие функции называют функциями Ляпунова. Если функция Ляпунова явно не зависит от времени, то ее производная

Вводя в рассмотрение скорость и движения изображающей точки в фазовом пространстве и вектор у V, соотношение (33) можно представить в виде скалярного произведения

Теоремы прямого (второго) метода Ляпунова. В теории устойчивости невозмущенное движение принято называть установившимся, если соответствующие ему дифференциальные уравнения возмущенного движения автономны [10]. В противоположном случае невозмущенное движение называют неустановившимся В исследовании устойчивости движения автономных и неавтономных систем (установившихся и неустановившихся движений) имеются некоторые различия,

Автономные системы. Теорема об устойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (25) можно найти знакоопределенную функцию производная которой V, составленная в силу этих уравнений является знакопостоянной функцией противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Теорема об асимптотической устойчивости, Если при выполнении условий теоремы об устойчивости производная V является знакоопределенной, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически.

Первая теорема о неустойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (25) возможно найти функцию которая обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной производной V и могла бы принимать в окрестности нуля значения одного знака с V, то иевозмущенное движение неустойчиво.

Вторая теорема о неустойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (25) можно найти ограниченную функцию V, производная которой, составленная в силу этих уравнений, приводится к виду

где k — положительная постоянная, или тождественно равна нулю, или представляет собой некоторую знакопостоянную функцию, и если в последнем случае найденная функция V не является знакопостоянной, знака противоположного с невозмущенное движение неустойчиво.

Теоремы Ляпунова об устойчивости и первая теорема о неустойчивости допускают простую геометрическую интерпретацию. Если V и ее производная V — знакоопределенные функции противоположных знаков (теорема об асимптотической устойчивости), то изображающая точка, движущаяся по фазовой траектории, пересекает каждую из поверхностей снаружи внутрь (рис. 11, а), так как функция V

должна непременно убывать. В этом случае фазовые траектории должны неограниченно приближаться к началу координат.

При выполнении условий теоремы Ляпунова об устойчивости изображающая точка может двигаться по поверхности уровня (рис. 11,б), оставаясь в заданной окрестности начала координат. Если выполняются условия первой теоремы о неустойчивости, то изображающая точка при своем движении может пересекать поверхности изнутри наружу, удаляясь от начала координат (рис.

Рис. 11

Неавтономные системы. В эгом случае функции Ляпунова так же, как и правые части уравнений возмущенного движения (22), явно зависят от времени. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости не меняется, но в условия теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости вводится дополнительное требование о существовании бесконечно малого высшего предела функции

Теоремы Ляпунова о неустойчивости движения обобщены . Четаевым, доказавшим следующую теорему:

если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V, ограниченную в области существующую при всяком и для сколь угодно малых по абсолютной величине значений переменных производная которой V, составленная в силу этих уравнений, является положительно определенной в области то невозмущенное движение неустойчиво.

Функция V, удовлетворяющая условиям сформулированной выше теоремы . Четаева, существует во всех случаях неустойчивости [7].

Теоремы об асимптотической устойчивости (в том числе об асимптотической устойчивости в большом и в целом) доказаны при менее жестких условиях. Оказывается, что для асимптотической устойчивости можно требовать лишь знакопостоянства производной V, если последняя обращается в нуль на множествах, не содержащих целых траекторий исследуемой системы [2, 7].

Хотя общих методов отыскания функций Ляпунова для произвольных нелинейных систем не существует, в отдельных случаях могут оказаться полезными энергетический способ; способ, основанный на использовании аналогии с соответствующей линейной системой; метод деления переменных; построение функции Ляпунова, в виде связки первых интегралов и т. д. [3].

Исследование устойчивости по первому приближению. При исследовании устойчивости по первому приближению правые части дифференциальных уравнений возмущенного движения разлагают в области в ряды по целым степеням

где X содержат в степени не ниже второй и удовлетворяют всем условиям сущест: вования и единственности решений системы (35). Уравнения первого приближения имеют вид

Если рассматриваются стационарные решения автономной системы, то коэффициенты постоянны и функции X не зависят явно от времени.

Характеристическим уравнением системы (36) называется уравнение

Где — символ Кронекера если если

Теоремы Ляпунова об устойчивости автономных систем по первому приближению:

1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости

2. Если среди корней характеристического уравнения найдется по меньшей мере один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.

В критических случаях, когда вещественные части некоторых корней характеристического уравнения равны нулю, в то время как вещественные части остальных корней отрицательны, об устойчивости невозмущенного движения нельзя судить по уравнениям первого приближения — необходимо рассмотреть влияние нелинейных членов

Таким образом, для исследования устойчивости по первому приближению достаточно определять знаки вещественных частей корней характеристического уравнения. Это можно сделать, не вычисляя корней, с помощью критерия Рауса-Гурвица (см.

Для неавтономных систем явно зависят от задача исследования устойчивости по первому приближению существенно усложняется. О свойствах решения системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в этом случае судят по характеристичным числам.

Характеристичным числом функции называют число, определяемое формулой

Очевидно, что функция при любом сколь угодно малом положительном будет неограниченной, а функция исчезающей.

Теоремы об устойчивости по первому приближению для неавтономных систем:

1, Если система дифференциальных уравнений первого приближения правильная и все ее характеристичные числа положительны, то невозмущенное движение устойчиво.

2. Если система дифференциальных уравнений первого приближения правильная и среди ее характеристичных чисел имеется хотя бы одно отрицательное, то невозмущенное движение неустойчиво.

При исследовании устойчивости периодических режимов движения правые части дифференциальных уравнений возмущенного движения оказываются также периодическими функциями времени

При этом периодическими функциями времени являются и коэффициенты дифференциальных уравнений первого приближения

Вопрос об устойчивости периодических режимов движения можно рассмотреть с помощью приведенных выше теорем. Однако часто для этого используют другие

соображения. Например, можно показать, что система уравнений (36) с периодическими коэффициентами имеет решение, обладающее следующим свойством:

где корни характеристического уравнения

При этом матрица

где фундаментальная система решений уравнений (36), удовлетворяющая единичной матрице начальных условий единичная матрица.

Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению рассматриваемых систем:

1. Если все корни характеристического уравнения (42) имеют модули меньшие единицы, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически независимо от членов выше первого порядка

2. Если среди корней характеристического уравнения (42) имеется хотя бы один, модуль которого больше единицы, то иевозмущенное движение неустойчиво независимо от

Смысл последних теорем легко установить из рассмотрения соотношений (41). Построение характеристического уравнения (42) представляет трудную задачу. Если для уравнений типа (36) с постоянными коэффициентами для составления характеристического уравнения не нужно знать частные решения, то для уравнений с периодическими коэффициентами это необходимо. Поэтому при построении характеристического уравнения используют те или иные методы приближенного нахождения решений соответствующих дифференциальных уравнений.

Устойчивость состояния равновесия. Теорема об устойчивости состояния равновесия консервативных систем:

для устойчивости изолированного положения равновесия консервативной системы с голономными и стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы, потенциальная энергия системы в этом положении принимала минимальное значение

При малых отклонениях рассматриваемой системы от положения равновесия ее потенциальная энергия может быть представлена в виде

где постоянные коэффициенты, определяемые формулами

а точками обозначены слагаемые, содержащие в степенях выше второй.

Условия существования минимума функции в точке совпадают с условиями положительной определенности квадратичной формы, имеющей матрицу

Дифференциальные уравнения движения системы с одной степенью свободы около положения равновесия (вблизи особых точек фазовой плоскости) могут быть записаны

в виде

Характеристическое уравнение системы первого приближения имеет вид

где

Тип особой точки линеаризованной системы в зависимости от значений коэффициентов характеристического уравнения указан в табл 7 на стр. 24.

Характер фазовых диаграмм вблизи особых точек показан в табл. 7. В случае, когда линеаризованная система уравнений первого приближения имеет особую точку типа центр, у соответствующей нелинейной системы может быть либо центр, либо фокус Необходимым и достаточным условием существования центра для нелинейной системы является существование не зависящего от времени действительного голоморфного интеграла системы уравнений (46).

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбуждении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39); для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье). Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см.

Пример. Вынужденные колебания в механической системе с нелинейной характеристикой типа Дуффинга описываются дифференциальным уравнением

Пусть представляет собой одно из решений этого уравнения, соответствующее установившимся вынужденным колебаниям. Уравнение первого приближения имеет вид

Если, в частности, для решения уравнения (48) приближенно записать

то уравнение первого приближения (49) приводится к уравнению Матье

где

Устойчивость неустойчивость исследуемого режима определяется соотношением параметров и может быть рассмотрена с помощью диаграммы Айнса — Стретта (см. т. 1, с. 123)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)