6. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА

Идея метода гармонического баланса принадлежит Н. М. Крылову и Н. Н. Боголюбову [32]. Из дальнейших публикаций отметим работу Л. С. Гольдфарба [18], в которой дана геометрическая интерпретация метода, книгу Е. П. Попова и И. П. Пальтова [52], где этот метод получил обобщение и развитие, а также монографии [28, 34, 48, 58], содержащие примеры применения метода и развитие его теории.

В настоящее время метод гармонического баланса является одним из широко распространенных приближенных приемов отыскания периодических режимов в нелинейных колебательных системах; он основан на том обстоятельстве, что, несмотря на наличие нелинейностей, установившиеся колебания в системе при определенных условиях оказываются близкими к гармоническим.

Пусть движение системы описывается уравнением

где некоторая нелинейная функция; периодическая функция времени с периодом представимая в виде ряда Фурье

Предположим, что уравнение (141) имеет периодическое решение периода разлагающееся в равномерно сходящийся ряд Фурье

Подставим выражение (142) в уравнение (141) и предположим, что функция также разлагается в ряд Фурье

где

Тогда, приравнивая коэффициенты при в обоих частях получившегося равенства, придем к следующей бесконечной системе уравнений для определиния коэффициентов и

Решение системы (144) и, тем самым, точное нахождение решения (142) в подавляющем большинстве случаев представляет значительные трудности. Однако если допустить, что преобладающими в искомом решении являются постоянная составляющая и первая гармоника, то приближенное решение можно искать в виде

При этом вместо системы (144) получим следующие три уравнения для определения коэффициентов и

Здесь функции находятся согласно выражениям (143), в которые, однако, вместо подставлено по (145). Эти выражения могут быть упрощены, если положить, не нарушая общности, что решение (145) имеет вид

а неизвестный сдвиг фаз между первой гармоникой вынуждающей силы и колебаниями учтен в выражении для этой силы, т. е. принято

Тогда для определения коэффициентов получаются уравнения

а уравнения для определения неизвестных принимают вид

Исключив из двух последних уравнений, получим соотношение

которое вместе с первым уравнением служит для нахождения ; после этого сдвиг фаз легко найти по формуле

Заметим, что метод гармонического баланса пригоден также и для изучения колебаний автономных систем, когда таким образом, В этом случае фазовый сдвиг является произвольным, а из уравнений (147), помимо определяется также заранее неизвестное приближенное значение частоты искомого решения

Приближенные периодические решения типа (146) соответствуют вещественным решениям системы (148). Необходимо подчеркнуть, что приближенность этих решений обусловлена не только пренебрежением высшими гармониками в выражении (146), но также и приближенностью определения коэффициентов из уравнений (148), при составлении которых не учтена зависимость величин от всех коэффициентов разложения (142) функции

Между тем, как показывает опыт применения метода, он во многих случаях дает вполне удовлетворительные качественные, а зачастую и количественные результаты и притом не только для систем, в которых функция близка к линейной, но также и для существенно нелинейных систем, в частности для систем с сухим трением и с ударами (см. п. 9 гл. XII); метод был с успехом использован и при изучении колебаний распределенных системе нелинейной диссипацией [48]. Причина высокой эффективности метода гармонического баланса состоит в фильтрующих свойствах соответствующих систем, вследствие чего решение оказывается возможным аппроксимировать в виде (146) несмотря на существенные нелинейности. Этот вопрос, а также вопрос об оценке погрешности метода подробно рассмотрен в монографии [58].

Заметим, что метод гармонического баланса в случае малой нелинейности, когда постоянная, 8 — малый параметр) приводит к тем же результатам, что и метод эквивалентной линеаризации (см. п. 4), а также метод гармонической линеаризации [52]. Таким образом прослеживается прямая связь этого метода с методом усреднения; подробно данный вопрос разобран в книгах [12, 40]. С другой стороны, можно проследить связь метода гармонического баланса с методом Бубнова-Галеркина (см. п. 12), а также с методом малого параметра Пуанкаре (см. п. 3); эти связи указаны в монографиях [34, 58].

Пример Движение частицы по горизонтальной шероховатой плоскости, совершающей продольные гармонические колебания. Уравнение относительного движения частицы по горизонтальной плоскости, совершающей прямолинейные гармонические колебания в той же плоскости с частотой и амплитудой А (рис. 19), может быть записано в форме

где X — смещение частицы вдоль плоскости, отнесенное к амплитуде колебаний причем есть ускорение свободного падения, коэффициент сухого трення; штрихом обозначено дифференцирование по безразмерному времени

В рассматриваемом случае и поэтому по формулам (147) получаем

и уравнения (148) дают откуда легко находим выражение для амплитуды относительных колебаний частнцы по плоскости

Полученная зависимость представлена на рис. 20 штриховой линией; сплошная кривая соответствует значению относительного полуразмаха колебаний частицы, найденному в

зультате точного решения уравнения методом припассовывания [9] Это решение получено в предположении, что коэффициент трения покоя связан с коэффициентом трения скольжения зависимостью отметим, что приближенным решением зависимость движения от коэффициента не улавливается.

Рис. 19

Рис. 20

Как видно из рисунка, приближенное решение обнаруживает хорошее качественное и удовлетворительное количественное согласие с точным, особенно в случае интенсивных вибраций плоскости, когда и частица движется по плоскости попеременно вперед и назад без длительных остановок (см гл. I т. IV). Заметим, что в рассмотренном примере приближенное решение оказалось удовлетворительным, несмотря на отсутствие в системе фильтрующих свойств.

Рис. 21

Рис. 22

Пример 2. Автоколебания маятника при наличии подталкивающей силы постоянной величины. Дифференциальное уравнение движения маятника, находящегося в среде с вязким трением при наличии постоянной подталкивающей силы имеет вид

(см п. 2 гл. VI, где разъяснены также принятые обозначения)

В данном случае система автономна, так что

По формулам (147) находим

и уравнения (148) дают

Точные значения частоты и полуразмаха автоколебаний, полученные в п. 2 гл. VI, есть соответственно

На рис. 21 и 22 представлены зависимости отношений характеризующих относительную близость приближенного и точного решений, от параметре Как видно, согласие получается вполне удовлетворительным, особенно при относительно малом вязком трении. В данном случае успех применения методе может быть объяснен фильтрующими свойствами линейной части системы